Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a ) Ta có : \(f\left(x\right)=4x^2-4x+3=4x^2-4x+1+2\)
\(=\left(2x-1\right)^2+2\ge2>0\forall x,x\in R\)
b ) Ta có : \(g\left(x\right)=2x-x^2-7=-x^2+2x-7\)
\(=-x^2+2x-1-8\)
\(=-\left(x^2-2x+1\right)-8\)
\(=-\left(x-1\right)^2\le-8< 0\forall x,x\in R\)
1) Với x > 0 ta có:
\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2+1}{x}\ge\dfrac{2x}{x}\\ \Leftrightarrow x^2+1\ge2x\left(\text{vì }x>0\right)\\ \Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng }\forall x>0\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=1\). Vậy BĐT được chứng mình với x > 0.
1: Áp dụng Bđt cosi, ta được:
\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\cdot\sqrt{x\cdot\dfrac{1}{x}}=2\)
1)Áp dụng bđt AM-GM:
\(2\left(ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=\left(ab+\frac{a}{b}\right)+\left(ab+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge2\left(a+b+1\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge a+b+1."="\Leftrightarrow a=b=1\)
2) Áp dụng bđt AM-GM ta có: \(a+\frac{1}{a-1}=a-1+1+\frac{1}{a-1}\ge2\sqrt{\left(a-1\right).\frac{1}{a-1}}+1=3\)
\("="\Leftrightarrow a=2\)
3) Áp dụng bđt AM-GM:
\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)=\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\right)+\left(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)+\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
Cộng theo vế và rg => ddpcm. Dấu bằng khi a=b=c
a) Bình phương 2 vế được: \(\frac{4ab}{a+b+2\sqrt{ab}}\le\sqrt{ab}\)
<=> \(4ab\le\sqrt{ab}\left(a+b\right)+2ab\)
<=>\(\sqrt{ab}\left(a+b\right)\ge2ab\)
<=>\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt[4]{ab}\forall a,b>0\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}\)
Ta sẽ cm \(\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}\geq \frac{9}{a+b+c}\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ac)\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{[3+2(ab+bc+ac)]^3}\geq 9(ab+bc+ac)\)
Đặt \(\sqrt{3+2(ab+bc+ac)}=t\) thì dễ thấy $0< t\leq 3$
Khi đó:
\((a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ac)\Leftrightarrow t^3\geq 9.\frac{t^2-3}{2}\)
\(\Leftrightarrow 2t^3-9t^2+27\geq 0\)
$\Leftrightarrow (t-3)^2(2t+3)\geq 0$. Luôn đúng với mọi $t>0$
Vậy ta có đpcm
Dấu "=' xảy ra khi $a=b=c=1$
\(2x^2+y^2+10x-4y\ge2xy-13\) (1)
\(\Leftrightarrow2x^2+y^2+10x-4y-2xy+13\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+4\left(x-y\right)+4+x^2+6x+9\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+2.\left(x-y\right).2+2^2+x^2+2.x.3+3^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x-y+2\right)^2+\left(x+3\right)^2\ge0\)(2)
Ta thấy (2) luôn đúng mà \(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(1\right)\)nên (1) luôn đúng
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\hept{\begin{cases}x-y+2=0\\x+3=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-3\\y=-1\end{cases}}}\)
\(a^2+b^2+ab+2=a^2+2.\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{3b^2}{4}+2=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}+2\)
Do : \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2\ge0\\\dfrac{3b^2}{4}\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}+2>0\)