Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ge2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã được chứng minh
Ta có: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
*Chứng minh bất đẳng thức
Ta có: \(\forall a,b\ge0\) thì \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\) \(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) (đpcm)
Ta có: \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\forall a,b>0\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\forall a,b>0\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\forall a,b>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\forall a,b>0\)(đpcm)
\(\dfrac{x^2+1}{x}=\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{1}{x}=x+\dfrac{1}{x}\)
Theo bất đẳng thức Cô - si, ta có:
\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}=2\sqrt{1}=2\)
Vậy \(\dfrac{x^2+1}{x}\ge2\)
a/Xét hiệu:
\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\)
\(\Leftrightarrow x\ge2-\dfrac{1}{x}\)\(\Leftrightarrow x\ge\dfrac{2x-1}{x}\)
\(\Rightarrow x^2\ge2x-1\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\)
(luôn đúng)
=> Đpcm
dấu ''='' xảy ra khi x = 1
b/ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
dấu ''='' xảy ra khi a = b
Cách khác
a) x>0: \(x+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}=2\)
\("="\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{x};x>0\Rightarrow x=1\)
b) a;b>0 \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\dfrac{4}{a+b}\)
\("="\Leftrightarrow a=b\)
5. phân tích ra : \(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)
áp dụng bđ cosy
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)
=> đpcm
6. \(x^2-x+1=x^2-2.\dfrac{1}{2}.x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
hay với mọi x thuộc R đều là nghiệm của bpt
7.áp dụng bđt cosy
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^2.b^2.c^2.d^2}=4abcd\left(đpcm\right)\)
Nhân 2 vế cho ab ta có:
`a^2+b^2>=2ab`
`<=>(a-b)^2>=0` luôn đúng
Dấu "=" `<=>a=b`
Bạn hỏi câu này có lẽ bạn chưa biết BĐT côsi, mk sẽ trình bày từ bước chứng minh BĐT
Ta có: \(\left(m-n\right)^2\ge0\)
<=> \(m^2-2m.n+n^2\ge0\)
<=> \(m^2+2m.n+n^2-4m.n\ge0\)
<=> \(\left(m+n\right)^2\ge4m.n\)
=> \(m+n\ge2\sqrt{m.n}\) ( BĐT côsi)
a, Áp dụng BĐT côsi ta có:
\(\dfrac{1}{x}+x\ge2\sqrt{\dfrac{1}{x}.x}=2\)
vậy \(\dfrac{1}{x}+x\ge2\) (x>0)
b, Áp dụng BĐT côsi ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)
vậy \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\) với a, b >0
-----------Chúc bạn học tốt
-------------