K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

3 tháng 8 2017

a)

Đặt   \(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)

\(\Rightarrow A=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\)

Áp dụng BĐT Schwarz , ta có :

\(A\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)  (1)

Mà \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac}\ge3\)     (2)

Từ (1) và (2) , suy ra :  \(A\ge\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

b)

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a}+\frac{\left(c+a\right)^2}{b}\ge\frac{\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]^2}{a+b+c}=4\left(a+b+c\right)\)

4 tháng 8 2017

 tại sao lại dc cái này bạn

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a}+\frac{\left(c+a\right)^2}{b}\ge\frac{\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]^2}{a+b+c}\)

9 tháng 2 2019

"Chấm" nhẹ hóng cao nhân ạ :)

P/s: mong các bác giải theo cách lớp 8 ạ :) Tặng 5SP / 1 câu nhé ;)

9 tháng 2 2019

Câu 3: Tham khảo đây nhá: Câu hỏi của Trương Thanh Nhân, t làm r,giờ lười đánh lại.

NV
6 tháng 5 2021

Ta chứng minh BĐT sau với các số dương:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

Thật vậy, BĐT tương đương: \(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ; \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\) ; \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)

NV
6 tháng 5 2021

b.

Ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{12}{a+b}\) (1)

\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\Rightarrow\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{8}{b+c}\) (2)

\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\) (3)

Cộng vế với vế (1); (2) và (3):

\(\dfrac{4}{a}+\dfrac{5}{b}+\dfrac{3}{c}\ge4\left(\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

9 tháng 11 2017

tau lam theo cach nay hoi dai nhung van dung

xet:a2/b2+c2-a/b+c=ab(a-b)+ac(a-c)/(b2+c2)(b+c)(1)

tg tu:b2/c2+a2-b/c+a=bc(b-c)+ab(b-a)/(a2+c2)(c+a)(2)

           c2/a2+b2-c/a+b=ac(c-a)+cb(c-b)(3)

lay(1)+(2)+(3) roi dat thua so chung ab(a-b);ac(c-a);bc(b-c) ra roi gia su a=>b=>c>0 suy ra bieu thuc trong ngoac ko am =>dpcm

29 tháng 4 2018

       \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b+c}+a+\frac{b^2}{c+a}+b+\frac{c^2}{a+b}+c\ge\frac{a+b+c}{2}+\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a\left(a+b+c\right)}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)}{c+a}+\frac{c\left(a+b+c\right)}{a+b}\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\) (luôn đúng  BĐT Netbitt)

C/m:    \(VT=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

       \(=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1-3\)

      \(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}-3\)

     \(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\)

     \(=\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\)

Ta có:   \(x+\frac{1}{x}\ge2\)   (x > 0)     (*)

     \(\Leftrightarrow\)\(\frac{x^2+1}{x}\ge\frac{2x}{x}\)

    \(\Leftrightarrow\) \(\frac{x^2-2x+1}{x}\ge0\) 

   \(\Leftrightarrow\)\(\frac{\left(x-1\right)^2}{x}\ge0\) luôn đúng 

Dấu "=" xảy ra   \(\Leftrightarrow\)\(x=1\) 

ÁP dụng   BĐT (*) ta có:   

    \(VT=\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\)

  \(VT\ge\frac{1}{2}.9-3=\frac{3}{2}\) 

\(\Rightarrow\)đpcm

29 tháng 4 2018

áp dụng bất đẳng thức CAUCHY SCHAWRZ DẠNG PHÂN THỨC

\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)

3 tháng 10 2016

Áp dụng BĐT Cô-si :

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\left|\frac{a}{c}\right|\ge\frac{a}{c}\)

\(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge2\left|\frac{b}{a}\right|\ge\frac{b}{a}\)

\(\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}\ge2\left|\frac{c}{b}\right|\ge\frac{c}{b}\)

Cộng 3 vế của 3 đẳng thức trên với nhau có :

\(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)

Vậy ...

3 tháng 10 2016

Ta có \(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\)

                                           \(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge0\)

Áp dụng bài toán trên, ta có

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\frac{ab}{bc}\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\frac{a}{c}\)               (1)

Chứng minh tương tự, ta được

\(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge2\frac{b}{a}\)                   (2)

\(\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}\ge2\frac{c}{b}\)                    (3)

Cộng (1)(2)(3), ta được

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}\ge2\frac{a}{c}+2\frac{b}{a}+2\frac{c}{b}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)             \(\left(đpcm\right)\)