K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
0
24 tháng 10 2016
Gọi 2 phân số đó là \(\frac{a}{b},\frac{c}{d}\) với \(\left(a;b\right)=1;\left(c;d\right)=1\)
Ta có :
\(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=x\left(x\in Z\right)\)
\(\frac{a}{b}.bd+\frac{c}{d}bd=xbd\)
\(\rightarrow ad+bc=xbd\)
\(\rightarrow\begin{cases}ad=xbd-bc=b\left(xd-c\right)\\bc=xbd-ad=d\left(xb-a\right)\end{cases}\)
Ta có : \(ad=b\left(xd-c\right)\rightarrow ad⋮b\)
Mà : \(\left(a;b\right)=1\) nên \(d⋮b\left(1\right)\)
Tương tự thì \(b⋮d\left(2\right)\)
Từ (1)(2) \(\Rightarrow b=d\) hoặc \(b=-d\)
-> Điều phải chứng minh .
Lời giải:
Gọi 2 phân số $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}$ ($a,b,c,d\in\mathbb{N}^*$) là phân số tối giản có $b\neq d$
Vì 2 phân số tối giản nên $(a,b)=(c,d)=1$
Bây giờ phản chứng, giả sử tổng 2 phân số trên có thể là số nguyên
$\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$
$\Rightarrow ad+bc\vdots bd$
$\Rightarrow ad+bc\vdots b$
$\Rightarrow ad\vdots b$
Mà $(a,b)=1$ neenn $d\vdots b(1)$
Tương tự: $ad+bc\vdots d$
$\Rightarrow bc\vdots d$
Mà $(c,d)=1$ nên $b\vdots d(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow b=d$ (trái giả thiết)
Vậy điều giả sử là sai. Ta có đpcm.