Chứng minh rằng với mọi n ∈ N ∗ ta có 2 n 3 − 3 n 2 + n chia hết cho 6

Chứng minh rằng với mọi n ∈ N ∗ ta có 2 n 3 − 3...

SG

Sách Giáo Khoa

10 tháng 4 2017

Chứng minh rằng với mọi $n\in N^{\circledast}$, ta có :

a) $2n^3-3n^2+n$ chia hết cho 6

b) $11^{n+1}+12^{n-1}$ chia hết cho 133

#Toán lớp 11

2

N

ngonhuminh

13 tháng 4 2017

Phân tích nhân tử nhầm=>giải lại

$A=2n^2-3n^2+n=n\left(2n^2-3n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(2n+1\right)$$A=n\left(n-1\right)\left(2n+2-3\right)=\left[2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]-3\left(n\right)\left(n-1\right)=2B-3C$

$\left\{{}\begin{matrix}B⋮3\\C⋮2\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2B⋮6\\3C⋮3\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow A⋮6$ => dpcm

Đúng(0)

N

ngonhuminh

13 tháng 4 2017

Lời giải:

$A=n\left(2n^3-3n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(2n^2+2n-1\right)$

$A=n\left(n-1\right)\left[2n\left(n+1\right)-1\right]=2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+n\left(n-1\right)=B-C$$\left\{{}\begin{matrix}B⋮2\\B⋮3\end{matrix}\right.$$\Rightarrow B⋮6\forall n\in N$

$C=n\left(n-1\right)$ không thể chia hết cho 6 với mọi n thuộc N

$\Rightarrow A$ chỉ chia hết cho 6 với điều kiện $n\ne3k+2$

ví dụ đơn giải với k=0 => n= 2

$A=2.2^3-3.2^2+2=14⋮̸6$

Kết luận đề sai

Đúng(0)

LH

Lan Hương

11 tháng 4 2021

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, $\left(2^{3^{^n}}+1\right)⋮\left(3^{n+1}\right)$nhưng không chia hết cho $3^{n+2}$

#Toán lớp 11

1

TM

Trần Minh Hoàng

11 tháng 4 2021

Do 2 + 1 chia hết cho 3 nên theo bổ đề LTE ta có $v_3\left(2^{3^n}+1\right)=v_3\left(2+1\right)+v_3\left(3^n\right)=n+1$.

Do đó $2^{3^n}+1⋮3^{n+1}$ nhưng không chia hết cho $3^{n+2}$.

Đúng(1)

SG

Sách Giáo Khoa

4 tháng 4 2017

Chứng minh rằng với mọi $n\in N^{\circledast}$, ta có :

a) $13^n-1$ chia hết cho 6

b) $3n^3+15n$ chia hết cho 9

#Toán lớp 11

1

MH

Minh Hải

9 tháng 4 2017

a) Với n = 1, ta có:

13ⁿ – 1 = 13¹ – 1 = 12 ⋮ 6

Giả sử: 13^k - 1 ⋮ 6 với mọi k ≥ 1

Ta chứng minh: 13^k+1 – 1 chia hết cho 6

Thật vậy:

13^k+1 – 1 = 13^k+1 – 13^k+ 13^k -1 = 12.13^k +13^k – 1

Vì : 12.13^k ⋮ 6 và 13^k – 1 ⋮ 6

Nên : 13^k+1 – 1 ⋮ 6

Vậy 13ⁿ -1 chia hết cho 6

b) Với n = 1, ta có: 3n³ + 15n = 18 ⋮ 9

Giả sử: 3(k + 1)³ + 15(k + 1) Ta chứng minh: 3(k + 1)³ + 15(k + 1) ⋮ 9

Thật vậy:

3(k + 1)³ + 15(k + 1) = 3. (k³ + 3k² + 3k + 1) + 15(k + 1)

= 3k³ + 9k² + 9k + 15k + 18

= 3k³ + 15k + 9(k² + k + 2)

Vì 3(k + 1)³ + 15(k + 1) (giả thiết quy nạp) và 9(k² + k + 2) ⋮ 9

Nên: 3(k + 1)³ + 15(k + 1) ⋮ 9

Vậy: 3n³ + 15n chia hết cho 9 với mọi n ∈ N^*

Đúng(0)

PT

Pham Trong Bach

11 tháng 4 2019

Chứng minh với mọi n ∈ N * , ta có: 13 n – 1 chia hết cho 6

#Toán lớp 11

1

CM

Cao Minh Tâm

11 tháng 4 2019

Đặt un = 13n – 1

+ Với n = 1 thì u1 = 13 – 1 = 12 chia hết 6

+ Giả sử: uk = 13k – 1 chia hết cho 6.

⇒ uk + 1 = 13k + 1 – 1

= 13k+1 + 13k – 13k – 1

= 13k(13 – 1) + 13k – 1

= 12.13k + uk.

Mà 12.13k ⋮ 6; uk ⋮ 6.

⇒ uk + 1 ⋮ 6.

⇒ un ⋮ 6 với mọi n ∈ N.

hay 13n – 1 ⋮ 6 với mọi n ∈ N.

Đúng(0)

PT

Pham Trong Bach

27 tháng 1 2017

Chứng minh rằng với mọi n ∈ N ∗ ta có 11 n + 1 + 12 2 n − 1 chia hết cho 133.

#Toán lớp 11

1

CM

Cao Minh Tâm

27 tháng 1 2017

Đúng(0)

SG

Sách Giáo Khoa

4 tháng 4 2017

Chứng minh rằng với $n\in N^{\circledast}$, ta có :

a) $n^3+3n^2+5n$ chia hết cho 3

b) $4^n+15n-1$ chia hết cho 9

c) $n^3+11n$ chia hết cho 6

#Toán lớp 11

1

MH

Minh Hải

9 tháng 4 2017

a) Đặt S_n = n³ + 3n² + 5n

Với n = 1 thì S₁ = 9 chia hết cho 3

Giả sử với n = k ≥ 1, ta có S_k = (k³ + 3k² + 5k) $\vdots$ 3

Ta phải chứng minh rằng S_k+1 $\vdots$ 3

Thật vậy S_k+1 = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5

= k³ + 3k² + 5k + 3k² + 9k + 9

hay S_k+1 = S_k + 3(k² + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp thì S_k $\vdots$ 3, mặt khác 3(k² + 3k + 3) $\vdots$ 3 nên S_k+1 $\vdots$ 3.

Vậy (n³ + 3n² + 5n) $\vdots$ 3 với mọi n ε N^{* .}

b) Đặt S_n = 4ⁿ + 15n - 1

Với n = 1, S₁ = 4¹ + 15.1 – 1 = 18 nên S₁ $\vdots$ 9

Giả sử với n = k ≥ 1 thì S_k= 4^k + 15k - 1 chia hết cho 9.

Ta phải chứng minh S_k+1 $\vdots$ 9.

Thật vậy, ta có: S_k+1 = 4^{k + 1} + 15(k + 1) – 1

= 4(4^k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4S_k – 9(5k – 2)

Theo giả thiết quy nạp thì Sk $\vdots$ 9 nên 4S₁ $\vdots$ 9, mặt khác 9(5k - 2) $\vdots$ 9, nên S_k+1 $\vdots$ 9

Vậy (4ⁿ + 15n - 1) $\vdots$ 9 với mọi n ε N^*

c) Đặt S_n = n³ + 11n

Với n = 1, ta có S₁ = 1³ + 11n = 12 nên S₁ $\vdots$ 6

Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có S_k= k³ + 11k $\vdots$ 6

Ta phải chứng minh S_k+1 $\vdots$ 6

Thật vậy, ta có S_k+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k³ + 3k + 3k + 1 + 11k + 11

= ( k³ + 11k) + 3(k² + k + 4) = S_k + 3(k² + k + 4)

THeo giả thiết quy nạp thì Sk $\vdots$ 6, mặt khác k² + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k² + k + 4) $\vdots$ 6, do đó S_k+1 $\vdots$ 6

Vậy n³ + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N^{* .}

Đúng(0)

JV

Jack Viet

3 tháng 12 2021

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 4 ta có: 3$^{n-1}$ > n(n+2)

#Toán lớp 11

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

3 tháng 12 2021

- Với $n=4\Rightarrow3^3>4.6$ (đúng)

- Giả sử BĐT đã cho đúng với $n=k\ge4$ hay $3^{k-1}>k\left(k+2\right)$

- Ta cần chứng minh nó cũng đúng với $n=k+1$ hay: $3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)$

Thật vậy, do $k\ge4\Rightarrow k-3>0$, ta có:

$3^k=3.3^{k-1}>3k\left(k+2\right)=3k^2+6k=\left(k^2+4k+3\right)+\left(2k^2+2k-3\right)$

$=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+k+\left(k-3\right)>\left(k+1\right)\left(k+3\right)$ (đpcm)

Đúng(2)

PT

Pham Trong Bach

19 tháng 7 2017

Chứng minh với mọi n ∈ N * , ta có: 3 n 3 + 15 chia hết cho 9

#Toán lớp 11

1

CM

Cao Minh Tâm

19 tháng 7 2017

Đặt un = 3n3 + 15n

+ Với n = 1 ⇒ u1 = 18 ⋮ 9.

+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có: uk = (3k3 + 15k) ⋮ 9

⇒ uk+1 = 3(k + 1)3 + 15(k + 1 )

= 3(k3 + 3k2 + 3k + 1) + 15k + 15

= (3k3 + 15k) + 9k2 + 9k + 18

= (3k3 + 15k) + 9(k2 + k + 2)

= uk + 9(k2 + k + 2)

Mà uk ⋮ 9 và 9(k2 + k + 2) ⋮ 9

⇒ uk + 1 ⋮ 9.

Vậy un = 3n3 + 15n ⋮ 9 ∀n ∈ N*

Đúng(0)

NQ

Nguyễn Quốc Việt

3 tháng 12 2021

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n\ge2$ ta có:

$2< \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n< 3$

#Toán lớp 11

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

3 tháng 12 2021

$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=C_n^0+C_n^1.\dfrac{1}{n}+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}$

$=1+1+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}$

$=2+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}>2$

Mặt khác:

$C_n^k.\dfrac{1}{n^k}=\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!.n^k}=\dfrac{\left(n-k+1\right)\left(n-k+2\right)...n}{n^k}.\dfrac{1}{k!}< \dfrac{n.n...n}{n^k}.\dfrac{1}{k!}=\dfrac{n^k}{n^k}.\dfrac{1}{k!}=\dfrac{1}{k!}$

$< \dfrac{1}{k\left(k-1\right)}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$

Do đó:

$C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}< \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n}< 1$

$\Rightarrow2+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}< 2+1=3$ (đpcm)

Đúng(2)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP