Câu hỏi của Yiuu

Question

Chứng minh : $\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3}$ $\ge$ $\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^2$

Trần Thị Thu Ngân · Accepted Answer

ta có : $\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3}-\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^2$

=$\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3}-\dfrac{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}{9}$

=$\dfrac{2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx}{9}$

=$\dfrac{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}{9}\ge0$

Vậy suy ra ĐPCM và dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ $x=y=z$Câu trả lời: ta có : $\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3}-\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^2$

=$\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3}-\dfrac{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}{9}$

=$\dfrac{2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx}{9}$

=$\dfrac{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}{9}\ge0$

Vậy suy ra ĐPCM và dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ $x=y=z$