Question

[camcon]

Cho x,y,z>2 thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\) CMR : \(\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)\le1\)

Answer 1

[Tran Le Khanh Linh]

Đặt a=x-2; b=y-2; c=z-2. Phải chứng minh abc =<1

Thật vậy, từ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)ta có:

\(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1\)

Theo BĐT Cauchy ta có:

\(\frac{1}{a+2}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{b+2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{c+2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\right)\ge\sqrt{\frac{bc}{\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\left(1\right)\)

tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+2}\ge\sqrt{\frac{ac}{\left(a+2\right)\left(c+2\right)}}\left(2\right)\\\frac{1}{c+2}\ge\sqrt{\frac{ab}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}}\left(3\right)\end{cases}}\)

Nhân các vế của (1)(2)(3) ta được đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c hay x=y=z=3