LX
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2021
Lời giải:
$(x-y)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 2xy$
$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2$
$\Leftrightarrow 2\geq (x+y)^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{2}\geq x+y\geq -\sqrt{2}$
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2021
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
cho các số thực dưong x,y,z thỏa mãn : x2 y2 z2=3chứng minh rằng : \(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}} \dfrac{y}{\sqrt[3]{zx}} \df... - Hoc24
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2021
Cách khác:
Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\sum \frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\geq \sum \frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}=3\sum \frac{x}{y+z+1}=3\sum \frac{x^2}{xy+xz+x}\)
\(\geq 3. \frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)+(x+y+z)}\)
Ta sẽ chứng minh: \(\frac{3(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)+(x+y+z)}\geq xy+yz+xz(*)\)
Đặt $x+y+z=a$ thì $xy+yz+xz=\frac{a^2-3}{2}$
Bằng BĐT AM-GM dễ thấy $\sqrt{3}< a\leq 3$
BĐT $(*)$ trở thành:
$\frac{3a^2}{a^2+a-3}\geq \frac{a^2-3}{2}$
$\Leftrightarrow a^4+a^3-12a^2-3a+9\leq 0$
$\Leftrightarrow (a-3)(a+1)(a^2+3a-3)\leq 0$
Điều này đúng với mọi $\sqrt{3}< a\leq 3$
Do đó BĐT $(*)$ đúng nên ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
24 tháng 12 2020
nhờ mn giúp mk bài này vs ạ
mk đang cần gấp !
cảm ơn mn nhiều
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 12 2020
Đặt \(\left(\sqrt[3]{x};\sqrt[3]{y};\sqrt[3]{z}\right)=\left(a;b;c\right)\) \(\Rightarrow a^6+b^6+c^6=3\)
\(a^6+a^6+a^6+a^6+a^6+1\ge6a^5\)
Tương tự: \(5b^6+1\ge6b^5\) ; \(5c^6+1\ge6c^5\)
Cộng vế với vế: \(18=5\left(a^6+b^6+c^6\right)+3\ge6\left(a^5+b^5+c^5\right)\)
\(\Rightarrow3\ge a^5+b^6+b^5\)
BĐT cần chứng minh: \(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\)
Ta có:
\(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge a+b+c\) (1)
Mà \(3\left(a+b+c\right)\ge\left(a^5+b^5+c^5\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\ge3\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\) (2)
Từ (1);(2) \(\Rightarrow\) đpcm
TN
27 tháng 5 2018
\(VT=6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+xz\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)
\(=6\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+xz\right)+2\frac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}\)
\(\ge6\left(x+y+z\right)^2-2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+2\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(=\: 6\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^2-2\cdot\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{3}+2\cdot\frac{9}{4\cdot\frac{3}{4}}=9\)
26 tháng 9 2016
Ta có 1 + x2 = xy + yz + xz + x2 = (xy + x2) + (yz + xz) = (x + y)(x + z)
=> \(1x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{\left(1+x^2\right)}}=\:x\sqrt{\frac{\left(y+x\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=\:x\left|y+z\right|\)
26 tháng 9 2016
Tương tự như vậy thì ta có
A = xy + xz + yx + yz + zx + zy = 2
K
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 12 2020
Với mọi x;y;z ta luôn có:
\(\left(x+y-1\right)^2+\left(z-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy-2x-2y+1+z^2-z+\dfrac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+\dfrac{5}{4}+2xy-2x-2y-z\ge0\)
\(\Leftrightarrow2+2xy-2x-2y\ge z\)
\(\Leftrightarrow2\left(1-x\right)\left(1-y\right)\ge z\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
29 tháng 4 2020
Đặt \(H=\frac{xz}{y^2+yz}+\frac{y^2}{zx+yz}+\frac{x+2z}{x+z}\)
\(=\frac{1}{\frac{y^2}{xz}+\frac{yz}{xz}}+\frac{1}{\frac{zx}{y^2}+\frac{yz}{y^2}}+\frac{x+z+z}{x+z}\)
\(=\frac{1}{\frac{y^2}{zx}+\frac{y}{x}}+\frac{1}{\frac{zx}{y^2}+\frac{z}{y}}+\frac{1}{\frac{x}{z}+1}+1\)
Đặt \(\frac{x}{y}=a;\frac{y}{z}=b\Rightarrow ab=\frac{x}{z}\ge1\)
Khi đó \(H=\frac{1}{\frac{b}{a}+\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{ab+1}+1\)
\(=\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+b}+\frac{1}{ab+1}+1\)
Ta cần chứng minh \(U=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{1}{ab+1}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b+1}+1\right)+\left(\frac{b}{a+1}+1\right)+\frac{1}{ab+1}\ge\frac{7}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+1}{b+1}+\frac{a+b+1}{a+1}+\frac{1}{ab+1}\ge\frac{7}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+1\right)\left(\frac{1}{b+1}+\frac{1}{a+1}\right)+\frac{1}{ab+1}\ge\frac{7}{2}\)
Khi đó \(Y=\left(a+b+1\right)\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)+\frac{1}{ab+1}\)
\(\ge\left(a+b+1\right)\cdot\frac{4}{a+b+2}+\frac{1}{ab+1}\)
\(\ge\frac{4\left(a+b+1\right)}{a+b+2}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}+1}\)
Đặt \(t=a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\)
Ta cần chứng minh \(\frac{4\left(t+1\right)}{t+2}+\frac{1}{\frac{t^2}{4}+1}\ge\frac{7}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(t-2\right)^3}{2\left(t+2\right)\left(t^2+4\right)}\ge0\) ( đúng )
Vậy ta có đpcm.
29 tháng 4 2020
ta có:
\(\frac{xz}{y^2+yz}+\frac{y^2}{xz+yz}+\frac{z+2z}{z+x}=\frac{\frac{xz}{yz}}{\frac{y^2}{yz}+1}+\frac{\frac{y^2}{yz}}{\frac{xz}{yz}+1}+\frac{1+\frac{2z}{x}}{1+\frac{z}{x}}\)\(=\frac{\frac{x}{y}}{\frac{y}{z}+1}+\frac{\frac{y}{z}}{\frac{x}{y}+1}+\frac{1+\frac{2z}{x}}{1+\frac{z}{x}}=\frac{a^2}{b^2+1}+\frac{b^2}{a^2+1}+\frac{1+2c^2}{1+c^2}\)
trong đó \(a^2=\frac{x}{y};b^2=\frac{y}{z};c^2=\frac{z}{x}\left(a;b;c>0\right)\)
Nhận xét rằng \(a^2\cdot b^2=\frac{x}{z}=\frac{1}{c^2}\ge1\)(do x>=z)
Xét \(\frac{a^2}{b^2+1}+\frac{b^2}{a^2+1}+\frac{c^2}{ab+1}\)\(=\frac{a^2\left(a^2+1\right)\left(ab+1\right)+b^2\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)-2aba^2\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\)
\(=\frac{ab\left(a^2-b^2\right)+\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)+\left(a-b\right)^2}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\ge0\)
Do đó: \(\frac{a^2}{b^2+1}+\frac{b^2}{a^2+1}\ge\frac{2ab}{ab+1}=\frac{\frac{2}{c}}{\frac{1}{c}+1}=\frac{2}{1+c}\left(1\right)\)đẳng thức xảy ra <=> a=b
khi đó:
\(\frac{2}{1+c}+\frac{1+2c^2}{c^2+1}-\frac{5}{2}=\frac{2\left[2\left(1+c^2\right)+\left(1+c\right)\left(1+2c^2\right)\right]-5\left(1+c\right)\left(1+c^2\right)}{2\left(1+c\right)\left(1+c^2\right)}\)
\(=\frac{1-3c+3c^2-c^3}{2\left(1+c\right)\left(1+c^2\right)}=\frac{\left(1-c\right)^3}{2\left(1+c\right)\left(1+c^2\right)}\ge0\)(do c=<1) (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=b, c=1 <=> x=y=z
sory i'm in grade 6