Câu hỏi của Nguyễn Hải An

Question

Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z =2 . Tìm GTLN của biểu thức :

P= $\sqrt{2x+yz}$ + $\sqrt{2y+xz}$+ $\sqrt{2z+xy}$

Trần Quang Hưng · Accepted Answer

Ta có $2x+yz=\left(x+y+z\right)x+yz=xy+xz+x^2+yz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)$

$\Rightarrow\sqrt{2x+yz}=\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}\le\dfrac{2x+y+z}{2}\left(Cauchy\right)$

Tuơng tự $\sqrt{2y+xz}\le\dfrac{2y+x+z}{2}$

$\sqrt{2z+xy}\le\dfrac{2z+x+y}{2}$

Do đó

$P\le\dfrac{3}{2}\left(x+y+z\right)=3$Câu trả lời: Ta có $2x+yz=\left(x+y+z\right)x+yz=xy+xz+x^2+yz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)$

$\Rightarrow\sqrt{2x+yz}=\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}\le\dfrac{2x+y+z}{2}\left(Cauchy\right)$

Tuơng tự $\sqrt{2y+xz}\le\dfrac{2y+x+z}{2}$

$\sqrt{2z+xy}\le\dfrac{2z+x+y}{2}$

Do đó

$P\le\dfrac{3}{2}\left(x+y+z\right)=3$

Nguyễn Thị Hằng · Answer

Dấu = xảy ra khi nào vậy bn ơi?Câu trả lời: Dấu = xảy ra khi nào vậy bn ơi?