Question

[Hoàng Vân Anh]

Cho x,y,z > 0 thỏa mãn x+y+z= 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P= \(\sqrt{2x+yz}+\sqrt{2y+xz}+\sqrt{2z+xy}\)

Answer 1

[Trịnh Seiyuu]

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky:

\(P^2=\left(\sqrt{2x+yz}+\sqrt{2y+xz}+\sqrt{2z+xy}\right)^2\)

\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)\)

\(=3\left(4+xy+yz+xz\right)=12+3\left(xy+yz+xz\right)\)

Mặt khác,theo AM-GM:

\(3\left(xy+yz+xz\right)\le\left(x+y+z\right)^2=4\)

\(\Rightarrow12+3\left(xy+yz+xz\right)\le12+4=16\)

\(\Rightarrow P^2\le16\Leftrightarrow P\le4\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)