Câu hỏi của Anh Đỗ Nguyễn Thu

Question

Cho x,y,z > 0 CMR $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{36}{9+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}$

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:

BĐT $\Leftrightarrow (9+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)(xy+yz+xz)\geq 36xyz(*)$

Thật vậy, áp dụng BĐT AM-GM:

$9+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=1+1+...+1+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq 12\sqrt[12]{x^4y^4z^4}$

$xy+yz+xz\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$

Nhân theo vế ta có BĐT $(*)$ luôn đúng

Do đó ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$Câu trả lời: Lời giải:

BĐT $\Leftrightarrow (9+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)(xy+yz+xz)\geq 36xyz(*)$

Thật vậy, áp dụng BĐT AM-GM:

$9+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=1+1+...+1+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq 12\sqrt[12]{x^4y^4z^4}$

$xy+yz+xz\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$

Nhân theo vế ta có BĐT $(*)$ luôn đúng

Do đó ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$