Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT=\dfrac{x^2}{x^2+2xy+3zx}+\dfrac{y^2}{y^2+2yz+3xy}+\dfrac{z^2}{z^2+2zx+3yz}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+5xy+5yz+5zx}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$\frac{47}{15}(3x^2+5y^2)=[(\sqrt{3}x)^2+(-\sqrt{5}y)^2][(\frac{2}{\sqrt{3}})^2+(\frac{3}{\sqrt{5}})^2]\geq (2x-3y)^2$
$\Leftrightarrow \frac{47}{15}(3x^2+5y^2)\geq 49$
$\Rightarrow 3x^2+5y^2\geq \frac{735}{47}$
Ta có đpcm.
Từ giả thiết:
\(29\le y^2+2xy+4x\le y^2+2xy+x^2+4\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge25\Rightarrow x+y\ge5\)
Đặt \(P=2x+3y+\dfrac{4}{x}+\dfrac{18}{y}\)
\(\Rightarrow P=x+y+\left(x+\dfrac{4}{x}\right)+2\left(y+\dfrac{9}{y}\right)\ge5+2\sqrt{\dfrac{4x}{x}}+2.2\sqrt{\dfrac{9y}{y}}=21\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(2;3\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le x\le2\\0\le y\le2\\0\le x+y\le\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)
\(A=x^2-2x-y\Leftrightarrow A+y+1=\left(x-1\right)^2\)
(1) VP >=0 => VT >=0
\(\Rightarrow A\ge-\left(y+1\right)\ge-3\) đẳng thức khi y=2 và x=1
(2) VP<=1 => VT <=1
\(\Rightarrow A+y+1\le1\Rightarrow A\le-y\le0\)\(\Rightarrow A\le0\) đẳng thức khi y=0 x =2 hoặc 0
Kết luận
\(-3\le A\le0\)
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương:
\(x+\dfrac{4}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\dfrac{4}{x}}=4\)
Dấu '=" xảy ra khi và chỉ khi x2=4<=>x=2
\(2y+\dfrac{18}{y}\ge2\sqrt{2y\cdot\dfrac{18}{y}}=12\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 2y2=18<=>y=3
x+y\(\ge5\) theo đề bài
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x+y=5
=>\(\left(x+\dfrac{4}{x}\right)+\left(2y+\dfrac{18}{y}\right)+\left(x+y\right)\ge4+12+5=21\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=2 y=3
rất chặt chẽ, rất logic, a nhầm 1 chỗ 2y2 = 12 chứ k phải =18, nhưng cái nhầm k có gtrị nhiu so voi cách giải ưu việt