Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}x=by+cz\\y=ax+cz\\z=ax+by\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=2\left(ax+by+cz\right)\)
Thay \(x=by+cz\) vào biểu thức ta được:
\(x+y+z=2\left(ax+x\right)=2x\left(a+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+a}=\dfrac{2x}{2x\left(1+a\right)}=\dfrac{2x}{x+y+z}\)
CMTT và cộng theo vế suy ra A=2
Cộng vế với vế:
\(\Rightarrow x+y+z=2ax+2by+2cz\)
\(\Rightarrow x+y+z-2x=2ax+2by+2cx-2\left(by+cz\right)=2ax\)
\(\Rightarrow2ax=y+z-x\)
\(\Rightarrow a=\dfrac{y+z-x}{2x}\Rightarrow1+a=\dfrac{x+y+z}{2x}\)
Tương tự ta có: \(1+b=\dfrac{x+y+z}{2y}\) ; \(1+c=\dfrac{x+y+z}{2z}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}=\dfrac{2x+2y+2z}{x+y+z}=2\)
Ta có : \(\dfrac{\left(ax+by+cz\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ax+by+cz\right)^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2axcz+2bycz=a^2x^2+b^2x^2+c^2x^2+a^2y^2+b^2y^2+c^2y^2+a^2z^2+b^2z^2+c^2z^2\)
\(\Leftrightarrow2axby+2axvz+2bycz=a^2y^2+b^2x^2+a^2z^2+c^2x^2+b^2z^2+c^2y^2\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2+b^2x^2+a^2z^2+c^2x^2+b^2z^2+c^2y^2-2axby-2azcx-2bycz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2y^2-2axby+b^2x^2\right)+\left(a^2z^2-2azcx+c^2x^2\right)+\left(b^2z^2-2bycz+c^2y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2=0\)
Do \(\left(ay-bx\right)^2\ge0;\left(az-cx\right)^2\ge0;\left(bz-cy\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay-bx=0\\az-cx=0\\bz-cy=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay=bx\\az=cx\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\\\dfrac{c}{z}=\dfrac{a}{x}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\left(đpcm\right)\)
:D
Lời giải:
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x=by+cz\\ y=ax+cz\\ z=ax+by\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=by-ax\\ z=ax+by\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x-y+z=2by\Rightarrow b=\frac{x+z-y}{2y}\)
Hoàn toàn tương tự ta nhận được:
\(a=\frac{y+z-x}{2x};c=\frac{x+y-z}{2z}\)
Suy ra:
\(\left\{\begin{matrix} a+1=\frac{x+y+z}{2x}\\ b+1=\frac{x+y+z}{2y}\\ c+1=\frac{x+y+z}{2z}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2\) (ĐPCM)