Question

[Nguyễn Linh Chi]

Cho x, y, z  là các số thực dương thỏa mãn:

 \(x+y+z=xyz\)

Chứng minh rằng :

\(\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\le\frac{9}{4}\)

Đề ko sai đâu. 

Answer 1

[Thắng Nguyễn]

bài này mình nhớ làm khá nhiều ở cả olm và học 24 rồi. Mà chắc nó ko hiện câu hỏi tương tự  nên làm lại 

\(\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\). Khi đó cần cm \(\frac{2a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\frac{9}{4}\) với ab+bc+ca=1

\(VT=\)\(\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

\(=\sqrt{\frac{2a}{a+b}\cdot\frac{2a}{a+c}}+\sqrt{\frac{2b}{a+b}\cdot\frac{b}{2\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{2c}{a+c}\cdot\frac{c}{2\left(b+c\right)}}\)

\(\le\frac{\frac{2a}{a+b}+\frac{2b}{a+b}+\frac{2a}{a+c}+\frac{2c}{a+c}+\frac{b}{2\left(b+c\right)}+\frac{c}{2\left(b+c\right)}}{2}=\frac{9}{4}\)

Answer 2

[alibaba nguyễn]

Đổi ẩn là ra ah.

\(\left(x,y,z\right)=\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)\)