Question

[hung]

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x⁴ + y⁴ + z⁴

Answer 1

[Mai Thanh Hải]

Ta có :

\(M=x^4+y^4+z^4=\left(x^4+\frac{1}{9}\right)+\left(y^4+\frac{1}{9}\right)+\left(z^4+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{3}\)

Áp dụng BĐT \(a^2+b^2\ge2ab\) ( "=" khi a=b ) , ta có :

\(M\ge\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{3}y^2+\frac{2}{3}z^2-\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(2x^2+2y^2+2z^2\right)-\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left[\left(x^2+y^2\right)+\left(y^2+z^2\right)+\left(x^2+z^2\right)\right]-\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow M\ge\frac{2}{3}.\left(xy+yz+xz\right)-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\) ( Vì xy+yz+xz=1 )

Dấu "=" xảy ra khi  \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

                 Vậy \(GTNN_M=\frac{1}{3}\) khi  \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

( Ko bít đúng Ko )    :)

Answer 2

[hung]

cảm ơn nha