Question

[Thầy Cao Đô]

Cho $\widehat{xOy}$, $\left(0^{\circ}<\widehat{x O y}<180^{\circ}\right)$, $Om$ là tia phân giác $\widehat{xOy}$. Trên tia $Om$ lấy điểm $I$ bất kì. Gọi $E, \, F$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $I$ đến $O x$ và $O y$. Chứng minh:

a) $\triangle I O E=\triangle I O F$.

b) $E F \perp O m$.

Answer 1

[Kudo Shinichi]

Vì Om là phân giác của \(\widehat{xOy}\)

\(\Rightarrow\widehat{IOE}=\widehat{IOF}=\dfrac{1}{2}\widehat{EOF}\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}IE\perp Ox\\IF\perp Oy\end{matrix}\right.\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{IEO}=\widehat{IFO}=90^o\)

Xét \(\Delta IOE\) và \(\Delta IOF\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{IEO}=\widehat{IFO}\left(=90^o\right)\\OI:chung\\\widehat{IOE}=\widehat{IOF}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta IOE=\Delta IOF\left(\text{cạnh huyền - góc nhọn}\right)\)

b) Vì \(\Delta IOE=\Delta IOF\left(cmt\right)\Rightarrow OE=OF\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)\)

Xét \(\Delta EOF\) có: \(OE=OF\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta EOF\) cân ở O

\(\Rightarrow\widehat{OEF}=\widehat{OFE}\)

Xét \(\Delta EOF\) có:

\(\widehat{EOF}+\widehat{OFE}+\widehat{OEF}=180^o\)

\(\Rightarrow2\widehat{EOI}+2\widehat{OEF}=180^o\\ \Rightarrow\widehat{EOI}+\widehat{OEF}=90^o\)

Gọi \(EF\cap OI\equiv M\)

Xét \(\Delta OME\) có: 

\(\widehat{OEF}+\widehat{EOI}+\widehat{OME}=180^o\\ \Rightarrow90^o+\widehat{OME}=180^o\\ \Rightarrow\widehat{OME}=180^o-90^o=90^o\\ \Rightarrow EF\perp Om\left(\text{đpcm}\right)\)

Answer 2

[Vũ Phương Anh]

Cho $\widehat{xOy}$, $\left(0^{\circ }<\widehat{xOy}<180^{\circ }\right)$, $Om$ là tia phân giác $\widehat{xOy}$. Trên tia $Om$ lấy điểm $I$ bất kì. Gọi $E,F$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $I$ đến $Ox$ và $Oy$. Chứng minh:

a) $△IOE=△IOF$.

b) $EF\perp Om$.

Hướng dẫn giải:

a) Xét $△IOE$ và $△IOF$ có

$\hat{E}=\hat{F}=90^{\circ }$ (giả thiết);

$OI$ cạnh chung;

$\widehat{EOI}=\widehat{FOI}$ ($Om$ là tia phân giác).

Vậy $△IOE=△IOF$ (cạnh huyền - góc nhọn).

b) $△IOE=△IOF$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow OE=OF$ (hai cạnh tương ứng).

Gọi $H$ là giao điểm của $Om$ và $EF$.

Xét $△OHE$ và $△OHF$, có

$OE=OF$ (chứng minh trên);

$\widehat{EOH}=\widehat{FOH}$ ($Om$ là tia phân giác);

$\mathrm{OH}$ chung.

Do đó $△OHE=△OHF$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{OHE}=\widehat{FHO}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{OHE}+\widehat{FHO}=180^{\circ }$ nên $\widehat{OHE}=\widehat{FHO}=90^{\circ }$.

Vậy $EF\perp Om$.