Question

[Nguyen Bao Linh]

Cho tứ giác lồi ABCD, trong đó AB + BD không lớn hơn AC + CD. Chứng minh rằng AB < AC

Answer 1

[Phương Trâm]

Ta có tứ giác ABCD bất kì.

Mà \(AB+BD\) \(\text{< AC}\)\(+CD\) \(\left(gt\right)\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABD\) có:

\(BD< AB+AD\) (trong tam giác thì tổng 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ ba)

Suy ra: \(AB+BD\) \(\text{< AB}< AB\)\(+AD+AB \) (cộng AB cho cả 2 vế)

\(AB+BD \)\(\text{< 2AB}\)\(+AD\left(2\right)\)

Xét \(\Delta ACD\) có:

\(\text{CD < AD+AC }\)

Suy ra: \(AC+CD\) \(< AD+AC+AC \)

\(AC+CD \)\(< 2AC+AD\left(3\right)\)

Thay \(\left(2\right),\left(3\right)\) vào \(\left(1\right)\) ta có:

2AB+AD < 2AC+AD

\(\Leftrightarrow2AB< 2AC\)

\(\Leftrightarrow AB< AC\left(đpcm\right)\)