Question

[Le Thi Khanh Huyen]

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là tâm các hình vuông có cạnh AB, BC, CD, AD dựng ra phía ngoài tứ giác.

Chứng minh rằng :

a) Tứ giác EFGH có 2 đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.

b) Trung điểm các đường chéo của các tứ giác ABCD, EFGH là đỉnh 1 hình vuông.

Answer 1

[Giang Hồ Đại Ca]

THam khảo nha : 

Xét bài toán: Cho tam giác ABC.ABC. Dựng hình vuông ABEFABEF và ACGHACGH phía ngoài tam giác. P,P, QQ theo thứ tự là tâm của hình vuông ABEFABEF và ACGH.ACGH. Lấy MMtrung điểm BC.BC. Chứng minh tam giác PQMPQM vuông cân tại M.M.

Lời giải: 

Dễ dàng chứng minh được MPMP và MQMQ theo thứ tự là đường trung bình của tam giác BCFBCF và BCH.BCH.

Suy ra MP∥CF ; MP=12CFMP∥CF ; MP=12CF và MQ∥BH ; MQ=12BH.   (1)MQ∥BH ; MQ=12BH.   (1)

Ta có: 

ˆBAH=ˆBAF+ˆFAH=90∘+ˆFAHBAH^=BAF^+FAH^=90∘+FAH^

ˆCAF=ˆCAH+ˆFAH=90∘+ˆFAHCAF^=CAH^+FAH^=90∘+FAH^

Do đó ˆBAH=ˆCAF.BAH^=CAF^.

Từ đó chứng minh được △AFC=△ABH (c.g.c)△AFC=△ABH (c.g.c)

⇒ˆFCA=ˆBHA⇒FCA^=BHA^

Gọi II và OO theo thứ tự là giao điểm của CFCF với BHBH và AH.AH.

Khi đó ˆOCA=ˆIHOOCA^=IHO^

Mà ˆOCA+ˆAOC=90∘OCA^+AOC^=90∘ và ˆAOC=ˆIOHAOC^=IOH^ ((đối đỉnh))

Nên ˆIHO+ˆIOH=90∘,IHO^+IOH^=90∘, suy ra ˆHIO=90∘HIO^=90∘

Do đó IH⊥IOIH⊥IO hay BH⊥CF.    (2)BH⊥CF.    (2)

Vì △AFC=△ABH (c.g.c)△AFC=△ABH (c.g.c) nên CF=BH.     (3)CF=BH.     (3)

Từ (1),(1), (2)(2) và (3)(3) suy ra MP=MQMP=MQ và MP⊥MQ.MP⊥MQ. Vậy tam giác MPQMPQ vuông cân tại M.M.

★★★★★★★★★★★★★★★★

Quay lại bài toán. Gọi MM là trung điểm ACAC

Áp dụng kết quả trên, ta chứng minh được tam giác EMFEMF và HMGHMG vuông cân tại M.M.

Từ đó chứng minh được △MEG=△MFH (c.g.c)△MEG=△MFH (c.g.c)

Rồi suy ra EG=HFEG=HF và EG⊥HF.EG⊥HF.

b)b) Gọi PP và QQ lần lượt là trung điểm HFHF và EGEG

Từ △MEG=△MFH (c.g.c)△MEG=△MFH (c.g.c) dễ dàng chứng minh được △MPF=△MQE (c.g.c)△MPF=△MQE (c.g.c)

Suy ra MP=MQMP=MQ và ˆPMF=ˆQME ⇒ ˆPMQ=ˆEMF=90∘PMF^=QME^ ⇒ PMQ^=EMF^=90∘

Do đó tam giác MPQMPQ vuông cân tại MM

Gọi NN trung điểm BD.BD. Chứng minh tương tự như trên, ta được tam giác NPQNPQ vuông cân tại N.N.

Suy ra tứ giác MPNQMPNQ là hình vuông.