Question

[Tuấn Nguyễn]

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A), bán kính AH. Từ C kẻ tiếp tuyến CM với đường tròn (A) (M là tiếp điểm, M không nằm trên đường thẳng BC).

a) Chứng minh bốn điểm A, M, C, H cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi I là giao điểm của AC và MH. Chứng minh AM² = AI.AC.

c) Kẻ đường kính MD của đường tròn (A). Đường thẳng qua A vuông góc với CD tại K cắt tia MH tại F. Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn (A). Từ đó chứng minh ba điểm D,F, B thẳng hàng.

d) Đường tròn đường kính BC cắt đường tròn (A) tại P và Q. Gọi G là giao điểm của PQ và AH. Chứng minh G là trung điểm của AH.

Answer 1

[Incursion_03]

a, Vì CM là tiếp tuyến của (A)

=> \(CM\perp AM\)

=> ^CMA = 90^o

=> M thuộc đường tròn đường kính AC

Vì ^CHA = 90^o

=> H  thuộc đường tròn đường kính AC

Do đó : M và H cùng  thuộc đường tròn đường kính AC

hay 4 điểm A,C,M,H cùng thuộc đường tròn đường kính AC

b, Vì AM = AH ( Bán kính)

       CM = CH (tiếp tuyến)

=> AC là trung trực MH

=> \(AC\perp MH\)tại I

Xét \(\Delta\)AMC vuông tại M có MI là đường cao 

\(\Rightarrow MA^2=AI.AC\)(Hệ thức lượng)

c, Vì CM , CH là tiếp tuyến của (A)

=> AC là phân giác ^HAM

=> ^HAC = ^MAC 

Mà ^HAC + ^HAB  = 90^o

=> ^MAC + ^HAB = 90^o

Ta có: ^BAD + ^BAC + ^CAM = 180^o (Kề bù)

=> ^BAD  + 90^o + ^CAM = 180^o

=> ^BAD + ^CAM = 90^o

Do đó ^BAD = ^BAH (Cùng phụ ^CAM)

Xét \(\Delta\)BAD và \(\Delta\)BAH có:

AB chung

^BAD = ^BAH (cmt)

AD = AH (Bán kính (A) )

=> \(\Delta BAD=\Delta BAH\left(c.g.c\right)\)

=> ^ADB = ^AHB = 90^o

\(\Rightarrow BD\perp AD\)

=> BD là tiếp tuyến của (A)

Làm đc đến đây thôi :(