Question

[Quang Trần Minh]

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi (P), (Q) theo thứ tự là đường tròn nội tiếp hai tam giác AHB và AHC. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài (khác BC) của hai đường tròn (P) và (Q), nó cắt AB, AH, AC theo thứ tự ở M, K, N. Chứng minh rằng:
a) Các tam giác HPQ và ABC đồng dạng.
b) KP // AB, KQ // AC.
c) BMNC là tứ giác nội tiếp.
d) Năm điểm A, M, P, Q, N thuộc cùng một đường tròn.
e) Tam giác AED vuông cân (D, E theo thứ tự là giao điểm của PQ với AB, AC).

Answer 1

[๖Fly༉Donutღღ]

Tự vẽ hình lấy chứ hình nó khó vẽ trên này lắm thông cảm 

 a) P và Q là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác đồng dạng AHB và CHA nên

\(\frac{HP}{HQ}=\frac{AB}{AC}\)nên \(\Delta HPQ~\Delta ABC\left(c-g-c\right)\)

b) Từ câu a suy ra \(\widehat{HPQ}=\widehat{C}\)mà \(\widehat{C}=\widehat{A_1}\)

Nên \(\widehat{HPQ}=\widehat{A_1}\)( 1 )

Tứ giác HPKQ có \(\widehat{PHQ}=\widehat{PKQ}=90^o\)nên là tứ giác nội tiếp, suy ra \(\widehat{HPQ}=\widehat{HKP}\)( 2 )

Từ (1) VÀ (2) suy ra \(\widehat{A_1}=\widehat{HKP}\)do đó KP // AB. Chứng minh tương tự, KQ // AC.

c) Ta có : \(\widehat{C}=\widehat{HKP}=\widehat{MKP}\)tự chứng minh \(\widehat{MKP}=\widehat{M_1}\)(sử dụng kết quả ở câu b).

d) Ta có : \(\widehat{A_1}=\widehat{M_1}\left(=\widehat{C}\right)\)nên KM = KA. Tương tự KP =KA. Do đó năm điểm A, M, P, Q, N thuộc đường tròn (K; KA).

e) Từ câu a suy ra \(\widehat{HQP}=\widehat{C}\)nên HQEC là tứ giác nội tiếp, do đó \(\widehat{QEA}=\widehat{QHC}=45^o\)

Tam giác ADE có : \(\widehat{E}=45^o\)

\(\Rightarrow\) ADE là tam giác vuông cân.

Answer 2

[๖Fly༉Donutღღ]

à câu cuối còn một cách nữa :)

Chứng minh \(BP\perp AQ\)tương tự ta cũng chứng minh \(CQ\perp AP\)

\(\Rightarrow\)\(AO\perp PQ\)(O là giao điểm của BP và CQ). Tam giác ADE có AO là tia phân giác góc A và \(AO\perp DE\)

\(\Rightarrow\)Tam giác AED vuông cân ( đpcm )