Question

[Trần Bảo Hân]

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O ( AB < AC ) . Đường cao AD , CE cắt nhau tại H . Đường kính AK cắt CE tại M và CK cắt AD tại F . Chứng minh AH.AF= AM.AK 

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Tứ giác ACKB nt đường tròn => ^ABC = ^AKC

Mà ^ABC = ^AHE (Cùng phụ ^BAD) nên ^AKC = ^AHE

Do ^AHE = ^MHF (Đối đỉnh) => ^AKC = ^MHF. 

Ta có: ^AKC + ^MKF = 180⁰ => ^MHF + ^MKF = 180⁰

=> Tứ giác MHFK nt đường tròn => ^AMH = ^AFK

Xét tam giác AHM và tam giác AKF: ^KAF chung; ^AMH = ^AFK

=> Tam giác AHM ~ Tam giác AKF (g.g)

=> AH/AK = AM/AF => AH.AF = AM.AK (đpcm).