Question

[Nhật Minh Nguyễn]

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.

CMR:AD/HD+BE/HE+CF/HF>=9      (không dùng bất đẳng thức)

Answer 1

[Hoàng Văn Nam]

(3x+5)-(2x-1)=4x-2

Answer 2

[Huy Hoang]

Hơi khó nên tui dung tạm BĐT vậy , bạn thông cảm ^ ^

\(S\left(ABC\right)=AD.\frac{BC}{2}\)

\(S\left(BHC\right)=HD.\frac{BC}{2}\)

 \(\Rightarrow\frac{HD}{AD}=\frac{S\left(BHC\right)}{S\left(ABC\right)}\left(1\right)\)

Tương tự:

\(\frac{HE}{BE}=\frac{S\left(AHC\right)}{S\left(ABC\right)}\left(2\right)\)

\(\frac{HF}{CF}=\frac{S\left(AHB\right)}{S\left(ABC\right)}\left(3\right)\)

(1) + (2) +(3) được:

\(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=\left[S\left(BHC\right)+S\left(AHC\right)+\frac{S\left(AHB\right)}{S\left(ABC\right)}\right]=\frac{S\left(ABC\right)}{S\left(ABC\right)}=1\)

Áp dụng bất đẳng thức:  \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)9 ta có:

 \(\left(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}\right)\left(\frac{AD}{HD}+\frac{BE}{HE}+\frac{CF}{HF}\right)\ge9\)

mà: \(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=1\) \(\Rightarrow\left(\frac{AD}{HD}+\frac{BE}{HE}+\frac{CF}{HF}\right)\ge9\)