Question

[Le Minh Hieu]

Cho tam giác ABC nhọn các đường cao AD , BE , CR cắt nhau tại H . Chứng minh :

a) BH . BE + CH.CF = BC²

b) AH . AD +BH . BE +CH . CF = \(\frac{AB^2+AC^2+BC^2}{2}\)

Answer 1

[Phùng Minh Quân]

a) Xét 2 tam giác vuông DHC và FBC có: ^HCD chung => \(\Delta DHC~\Delta FBC\)

=> \(\frac{CD}{CF}=\frac{CH}{BC}\) => \(CH.CF=BC.CD\) (1) 

tương tự với 2 tam giác vuông DBH và EBC có: ^EBC chung => \(\Delta DBH~\Delta EBC\)

=> \(\frac{BD}{BE}=\frac{BH}{BC}\) => \(BH.BE=BC.BD\) (2) 

(1) và (2) => \(CH.CF+BH.BE=BC\left(BD+CD\right)=BC^2\)

b) CM tương tự câu a), ta cũng có: \(AH.AD+BH.BE=AB^2;AH.AD+CH.CF=AC^2\)

cộng lại ta có đpcm