Question

[Cầm Dương]

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) , AB<AC. Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại M. Đường thẳng qua M song song với AB cắt đường tròn (O) tại D và E  ( D thuôc cung nhỏ BC) , cắt BC tại F, AC tại I

1) Chứng minh M,B,O,I,C cùng thuôc 1 đường tròn

2) CHứng minh \(\frac{FI}{FE}=\frac{FD}{FM}\)

3) Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB) đường thẳng QF cắt (O) tại T ( T khác Q) Tính tỉ số \(\frac{TQ^2+TM^2}{MQ^2}\)

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

1) Ta có 4 điểm B,O,C,M cùng thuộc đường tròn đường kính OM (^MBO = ^MCO = 90⁰) (1)

Do MI // AB và MB tiếp xúc với (O) tại B nên ^CIM = ^CAB = ^CBM

=> 4 điểm B,I,C,M cùng thuộc một đường tròn (2)

Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm M,B,O,I,C cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

2) Theo câu a thì M,B,I,C cùng thuộc (OM), có BC giao IM tại F => FI.FM = FB.FC

Đường tròn (O) có dây BC giao DE tại F nên FB.FC = FD.FE

Do vậy FI.FM = FD.FE => \(\frac{FI}{FE}=\frac{FD}{FM}\) (đpcm).

3) Điểm I thuộc đường tròn (OM) => ^OIM = 90⁰ hay ^QIM = 90⁰

Dễ thấy FQ.FT = FB.FC = FI.FM, suy ra tứ giác QMTI nội tiếp => ^QTM = ^QIM = 90⁰

=> \(\Delta\)QTM vuông tại T. Theo ĐL Pytagoras: \(TQ^2+TM^2=QM^2\)

Vậy thì \(\frac{TQ^2+TM^2}{MQ^2}=1.\)