Question

[Minh Hiếu]

Cho tam giác ABC cân tại A. Từ điểm D trên đáy BD kẻ vuông góc với BC cắt AB tại E và AC tại F. Vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK. Gọi I, J lần lượt là tâm các hình chữ nhật BDEH và CDFK, M là trung điểm AD.

a) Chứng minh: A trung điểm HK là 1 điểm cố định không phụ thuộc vào vị trí của D trên BC.

b) Chứng minh: 3 điểm I, M, J thẳng hàng.

c) Chứng minh: AD, HJ, KI đồng quy.

d) Khi D di động trên BC thì điểm M di chuyển trên đoạn thẳng nào.

Answer 1

[Nguyễn Hoàng Minh]

a, Gọi I,J là tâm của hcn BDEH và CDFK

Do đó \(BI=ID\Rightarrow\widehat{BID}=180^0-2\widehat{IBD}\) (\(\Delta BID\) cân tại I)

Mà \(\Delta ABC\) cân tại A nên \(\widehat{BAC}=180^0-2\widehat{IBD}\)

Do đó \(\widehat{BID}=\widehat{BAC}\) mà 2 góc này ở vị trí đv nên ID//AJ

Cmtt ta được \(\widehat{DJC}=\widehat{BAC}\left(=180^0-2\widehat{ACB}\right)\) mà 2 góc này ở vị trí slt nên AI//DJ

Do đó IAJD là hbh nên \(AI=DJ=JK\) (J là trung điểm DK)

Và AI//DJ hay AI//JK

\(\Rightarrow AIJK\) là hbh

\(\Rightarrow IJ=AK\) và IJ//AK

Mà IJ là đtb tg HDK nên IJ//HK và \(IJ=\dfrac{1}{2}HK\)

\(\Rightarrow\) HK trùng AK hay H,A,K thẳng hàng và \(AK=\dfrac{1}{2}HK\)

Do đó A là trung điểm HK

Vậy trung điểm A của HK là điểm cố định ko phụ thuộc vào vị trí điểm D

b, Vì I,M là trung điểm HD,AD nên IM là đtb tg HAD 

Do đó IM//AH

Mà IJ//AH nên IM trùng IJ hay I,M,J thẳng hàng

c, Xét tam giác DHK có:

HJ là trung tuyến (J là trung điểm DK)

DA là trung tuyến (A là trung điểm HK)

KI là trung tuyến (I là trung điểm DH)

Do đó AD,HJ,KI đồng quy tại trọng tâm tam giác DHK

d, Do AIDJ là hbh nên M là trung điểm AD cũng là trung điểm IJ

Gọi P là trung điểm BC thì AP cũng là đường cao và AP ko đổi

Kẻ MN⊥BC thì MN//AP

Do đó MN là đtb tg DAP

\(\Rightarrow MN=\dfrac{1}{2}AP\) và MN ko đổi

Vậy khi D thay đổi thì M chạy trên đg thẳng //BC và các BC 1 khoảng bằng \(\dfrac{1}{2}AP\) (không đổi)

Answer 2

[Nguyễn Hoàng Minh]

Hình vẽ: