Question

[Bủh Bủh Dảk Dảk Lmao]

Cho tam giác ABC cân ở A. Hai đường phân giác của góc B và C là BD và CE cắt nhau ở
O. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và ED. Chứng minh rằng:
1. Tứ giác BEDC là hình thang cân.
2. BE = ED = DC.
3. Bốn điểm A, I, O, J thẳng hàng.

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

1. 

Vì $BD$ là tia phân giác góc $\widehat{B}$ nên:

$\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}$

$CE$ là tia phân giác $\widehat{C}$ nên:
$\frac{AE}{EB}=\frac{AC}{BC}$

Mà $AB=AC$ nên $\frac{AD}{DC}=\frac{AE}{EB}$. Theo định lý Talet đảo thì $ED\parallel BC$

Do đó $BEDC$ là hình thang. Mà $\widehat{B}=\widehat{C}$ (do $ABC$ cân tại $A$)

$\Rightarrow BEDC$ là htc.

2.

$BEDC$ là htc nên $BE=DC(1)$

$\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow AD=\frac{AB.DC}{BC}$

$ED\parallel BC$ nên theo định lý Talet:

$\frac{ED}{BC}=\frac{AD}{AC}$

\(\Rightarrow ED=\frac{AD.BC}{AC}=\frac{AB.DC}{BC}.\frac{BC}{AC}=\frac{AB.DC}{BC}.\frac{BC}{AB}=DC(2)\)

Từ $(1);(2)\Rightarrow BE=DC=ED$

3.

Xét tam giác $DBC$ và $ECB$ có:

$\widehat{DCB}=\widehat{EBC}$ 

$DC=EB$

$BC$ chung

$\Rightarrow \triangle DBC=\triangle ECB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{C_1}$

$\Rightarrow \triangle BOC$ cân tại $O$

Do đó trung tuyến $OI$ đồng thời là đường cao 

$\Rightarrow OI\perp BC(*)$

Mặt khác:

$\widehat{B_1}=\widehat{D_1}$ (so le trong)

$\widehat{C_1}=\widehat{E_1}$

$\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{E_1}$

$\Rightarrow \triangle OED$ cân tại $O$

Do đó trung tuyến $OJ$ đồng thời là đường cao 

$\Rightarrow OJ\perp ED(**)$

Từ $(*); (**)$ mà $ED\parallel BC$ nên $O, I, J$ thẳng hàng.

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: