Question

[Bắc Hạnh]

Cho pt X^2 -2(m-1)x+m+1=0

Giải pt khi m=1 và tìm m để pt có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn x1/x2 +x2/x1 =4

Answer 1

[Ngọc Vĩ]

a/ Thay m = 1 vào pt ta được: x² + 2 = 0 => x² = -2 => pt vô nghiệm

b/ Theo Vi-ét ta được: \(\begin{cases}x_1+x_2=2m-2\\x_1.x_2=m+1\end{cases}\)

    \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=4\) \(\Leftrightarrow\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=4\) \(\Leftrightarrow\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=4\) \(\Leftrightarrow\frac{\left(2m-2\right)^2-2\left(m+1\right)}{m+1}=4\) \(\Leftrightarrow\frac{4m^2-8m+4-2m-2}{m+1}=4\) \(\Leftrightarrow4m^2-10m+2=4m+4\) \(\Leftrightarrow4m^2-14m-2=0\)

Giải denta ra ta được 2 nghiệm: \(\begin{cases}x_1=\frac{7+\sqrt{57}}{4}\\x_2=\frac{7-\sqrt{57}}{4}\end{cases}\)

Answer 2

[Hồng Trinh]

Khi m=1 ta có : \(x^2-2=0\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}\)

Pt 2 nghiệm x₁ ; x₂ thỏa mãn : \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=4\) \(\Leftrightarrow\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1+x_2}=4\Leftrightarrow\frac{x_1^2+x_2^2-2x_1x_2+2x_1x_2}{x_1+x_2}=4\) \(\Leftrightarrow\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1+x_2}=4\) (1)

Theo viet ta có: \(x_1x_2=\frac{c}{a}=\left(m+1\right)\); \(x_1+x_2=\frac{-b}{a}=2\left(m+1\right)\)

Thay vài (1) ta có: \(\frac{\left[2\left(m+1\right)\right]^2-2\left(m-1\right)}{2\left(m+1\right)}=4\) \(\Leftrightarrow4\left(m^2+2m+1\right)-2m+1=8\left(m+1\right)\Leftrightarrow4m^2+6m+5-8m-8=0\) \(\Leftrightarrow4m^2-2m-3=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m=\frac{1+\sqrt{13}}{4}\\m=\frac{1-\sqrt{13}}{4}\end{array}\right.\)