Question

[Châu Tuyết My]

Cho (O) và điểm P nằm ngoài đường tròn. Từ P vẽ 2 tiếp tuyến PA, PB. PO cắt (O) tại K, I và cắt AB tại H. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, C là giao điểm PD và (O)

a, Chứng minh tứ giác BHCP nội tiếp.

b, Chứng minh AC⊥CH

c, Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH cắt IC tại M, AM cắt IB tại Q. Chứng minh M là trung điểm AQ.

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có ngay \(\widehat{PHB}=90^o\)

Lại có D đối xứng với B qua O nên BD là đường kính đường tròn (O)

Vậy thì \(\widehat{BCD}=90^o\Rightarrow\widehat{PCB}=90^o\)

Xét tứ giác BHCP có \(\widehat{PCB}=\widehat{PHB}=90^o\) mà C và H là hai đỉnh kề nhau nên BHCP là tứ giác nội tiếp.

b) Do BHCP là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{HCD}=\widehat{PBH}\)  (Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện với nó)

Lại có \(\widehat{ACD}=\widehat{ABD}\)   (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

\(\Rightarrow\widehat{ACH}=\widehat{ACD}+\widehat{DCH}=\widehat{ABD}+\widehat{PBH}=\widehat{PBD}=90^o\)

Vậy nên AC vuông góc CH.

c) Tứ giác CHMA nội tiếp nên \(\widehat{CAH}=\widehat{CMH}\)   (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH)

Lại có \(\widehat{CAH}=\widehat{CAB}=\widehat{CIB}\)   (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CB)

Vậy nên \(\widehat{CMH}=\widehat{CIB}\)

Chúng lại ở vị trí đồng vị nên HM // Bi

Xét tam giác ABQ có H là trung điểm AB, HM // BI nên HM là đường trung bình tam giác ABQ.

Suy ra M là trung điểm AQ.

Answer 2

[Hoàng Phú Huy]

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có ngay  = 90 o Lại có D đối xứng với B qua O nên BD là đường kính đường tròn (O) Vậy thì  = 90 o⇒ = 90 o Xét tứ giác BHCP có  = = 90 o  mà C và H là hai đỉnh kề nhau nên BHCP là tứ giác nội tiếp. b) Do BHCP là tứ giác nội tiếp nên  =   (Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện với nó) Lại có  =    (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD) ⇒ = + = + = = 90 o Vậy nên AC vuông góc CH. c) Tứ giác CHMA nội tiếp nên  =    (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH) Lại có  = =    (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CB)