Question

[vũ đăng khánh]

Cho hình thang ABCD (ab//cd) O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD . ĐUowngf thẳng vẽ qua O // AD cắt AD và BC theo thứ  tự tại M và N  . CMR  : 1/AB + 1/CD = 2/MN

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Sửa đề: Đường thẳng qua O song song với AB

Xét ΔAOB và ΔCOD có 

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)(hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{BAO}=\widehat{DCO}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

Do đó: ΔAOB\(\sim\)ΔCOD(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Leftrightarrow\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{OC}{OD}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{OC}{OD}=\dfrac{OA+OC}{OB+OD}=\dfrac{AC}{BD}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{OC}{OD}=\dfrac{AC}{BD}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{CO}{CA}=\dfrac{DO}{DB}\)(1)

Xét ΔDAB có 

M∈AD(gt)

O∈BD(gt)

MO//AB(gt)

Do đó:\(\dfrac{DO}{DB}=\dfrac{MO}{AB}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(2)

Xét ΔABC có 

O∈AC(gt)

N∈BC(gt)

ON//AB(gt)

Do đó: \(\dfrac{CO}{CA}=\dfrac{ON}{AB}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{OM}{AB}=\dfrac{ON}{AB}\)

hay OM=ON(đpcm)

\(\Leftrightarrow OM+ON=MN=2\cdot ON\)
Xét ΔBCD có 

O∈BD(gt)

N∈BC(gt)

ON//DC(gt)

Do đó: \(\dfrac{ON}{CD}=\dfrac{BN}{BC}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(4)

Xét ΔABC có 

O∈AC(gt)

N∈BC(gt)

ON//DC(gt)

Do đó: \(\dfrac{ON}{AB}=\dfrac{CN}{CB}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ON}{AB}+\dfrac{ON}{CD}=\dfrac{BN}{BC}+\dfrac{CN}{BC}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}=\dfrac{1}{ON}=\dfrac{2}{2\cdot ON}=\dfrac{2}{MN}\)(đpcm)