Question

[Pham Trong Bach]

Cho hình chóp S.ABCD có đá ABCD là hình thoi cạnh 2a, A C = 3 a  là tam giác đều, S A = 120 ° . Tính thể tích khối chóp S.ABCD

A.  3 a 3

B.  3 3 a 3 2

C.  6 a 3

D.  2 3 a 3 3

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

+ Tam giác SAB đều ⇒ S A = S B = A B = 2 a  

+ Xét tam giác SAD có

S D 2 = S A 2 + A D 2 - 2 S A . S D . c o s S A D = 12 a 2 ⇒ S D = 2 3 a

+ Gọi A C ∩ B D = O ⇒ A O = A C 2 = 3 a 2

⇒ B O = A B 2 - A O 2 = 13 a 2 ⇒ B D = 13 a

Áp dụng công thức Hêrông ta tính được diện tích của tam giác SBD là S ∆ S B D = 183 a 2 4  

+ Gọi H là hình chiếu của A trên (SBD). Vì A B = A D = A S = 2 a ⇒ H  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

S B D ⇒ S H = S B . S D . B D 4 S ∆ S B D = 4 39 a 183  

⇒ A H = S A 2 - S H 2 = 4 a 2 - 624 a 2 183 = 6 3 183 ⇒ v S . A B D = V A . S B D = 1 3 . A H . S ∆ S B D = 1 3 . 6 3 a 183 . 183 a 3 4 = 3 a 3 4 ⇒ V S . A B C D = 2 V S . A B C D = 3 a 3

Cách 2:

Ta có

c o s B A C = A B 2 + A C 2 - B C 2 2 . A B . A C = 4 a 2 + 3 a 2 - 4 a 2 2 . 2 a . 3 a = 3 4 ⇒ c o s B A D = 2 ( c o s B A C ) 2 - 1 = - 5 8

Áp dụng công thức tính nhanh cho khối chóp A.SBD ta có

V A . S B D = A S . A B . A D 2 .

Chọn đáp án A.