Question

[Trần Thanh Phong]

Cho hàm số \(y=x^3-\left(m+2\right)x^2+\left(m-1\right)x+2m-1\left(1\right)\), với m là tham số thực. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ x = 1 và đường thẳng \(d:2x+y-1=0\) tạo với nhau 1 góc \(30^0\)

Answer 1

[Nguyễn Trọng Nghĩa]

Ta có \(\overrightarrow{n}=\left(2;1\right)\) là vecto pháp tuyến của đường thẳng d

\(y'=3x^2-2\left(m+2\right)x+m-1\Rightarrow y'\left(1\right)=3-2m-4+m-1=-m-2\)

Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ bằng 1. Suy ra phương trình của  \(\Delta\) có dạng \(y=y'\left(1\right)\left(x-1\right)+y\left(1\right)\)

Do đó \(\overrightarrow{n}=\left(m+2;1\right)\) là vecto pháp tuyến của  \(\Delta\)

Theo đề bài ta có : \(\left|\cos\left(\overrightarrow{n_1.}\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\cos30^0\Rightarrow\frac{\left|\overrightarrow{n_1.}\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

                         \(\Leftrightarrow\frac{\left|2\left(m+2\right)+1\right|}{\sqrt{5}\sqrt{\left(m+2\right)^2+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

                         \(\Leftrightarrow m^2+20m+25=0\)

                         \(\Leftrightarrow m=-10\pm5\sqrt{3}\)