Question

[Nguyễn Tất Đạt]

Cho hai số thực x,y thỏa mãn \(x+y\le1\). Tìm GTNN của

\(M=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\sqrt{1+x^2y^2}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:
$M\geq 2\sqrt{\frac{1}{xy}}.\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{x^2y^2+1}{xy}}$
$=2\sqrt{xy+\frac{1}{xy}}$

Áp dụng BĐT AM-GM tiếp:

$1\geq x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}$
$xy+\frac{1}{xy}=(xy+\frac{1}{16xy})+\frac{15}{16xy}$

$\geq 2\sqrt{xy.\frac{1}{16xy}}+\frac{15}{16xy}$

$\geq 2\sqrt{\frac{1}{16}}+\frac{15}{16.\frac{1}{4}}=\frac{17}{4}$

$\Rightarrow M\geq 2\sqrt{\frac{17}{4}}=\sqrt{17}$

Vậy $M_{\min}=\sqrt{17}$. Giá trị này đạt tại $x=y=\frac{1}{2}$