Question

[Đinh Cẩm Tú]

Cho hai số không âm a và b. Ta gọi trung bình nhân của hai số a và b và \(\sqrt{ab}\). Chứng minh rằng trung bình cộng của hai số a và b không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng (bất đẳng thức của Côsi).

Answer 1

[👁💧👄💧👁]

Ta cần c/m: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\left(1\right)\) (a;b ≥ 0)

Thật vậy:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\\ \Leftrightarrow\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}\ge ab\\ \Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\\ \Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng }\forall a;b\ge0\right)\)

Vậy BĐT Cô-si cho 2 số không âm được c/m.