Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét đường tròn (O;R) có \(\widehat{MTA}\)là góc tạo bởi tiếp tuyến MT (tiếp điểm là T) và dây cung TA \(\Rightarrow\widehat{MTA}=\frac{1}{2}sđ\widebat{TA}\)
Mà \(\widehat{MBT}\)là góc nội tiếp chắn cung TA \(\Rightarrow\widehat{MBT}=\frac{1}{2}sđ\widebat{TA}\)
\(\Rightarrow\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{TA}\right)\)
Xét \(\Delta MTA\)và \(\Delta MBT\), ta có: \(\widehat{BMT}\)chung; \(\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta MTA~\Delta MBT\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\frac{MT}{MB}=\frac{MA}{MT}\Rightarrow MT^2=MA.MB\)(1)
Hoàn toàn tương tự, ta có \(MT^2=MC.MD\)(2)
Vì MT là tiếp tuyến tại T của (O) \(\Rightarrow MT\perp OT\)tại T \(\Rightarrow\Delta OMT\)vuông tại T
\(\Rightarrow OM^2=MT^2+OT^2\)\(\Rightarrow MT^2=OM^2-OT^2\)
Đồng thời MT là tiếp tuyến tại T của (O;R) \(\Rightarrow OT=R\)
Như vậy ta có \(MT^2=OM^2-R^2\)(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có đpcm.
1) Xét (O) có
\(\widehat{ACD}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{AD}\)
\(\widehat{MDA}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến MD và dây cung AD
Do đó: \(\widehat{ACD}=\widehat{MDA}\)(Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
hay \(\widehat{MCD}=\widehat{MDA}\)
Xét ΔMCD và ΔMDA có
\(\widehat{MCD}=\widehat{MDA}\)(cmt)
\(\widehat{CMD}\) chung
Do đó: ΔMCD∼ΔMDA(g-g)
⇒\(\dfrac{MC}{MD}=\dfrac{MD}{MA}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
nên \(MD^2=MC\cdot MA\)(đpcm)
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn O, vẽ các cát tuyến MAB, MCD với đường tròn O, biết AB=CD. Cm: MA=MC
Vẽ tiếp tuyến ME
Xét \(\Delta MEA\) và \(\Delta MBE:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MEA=\angle MBE\\\angle BMEchung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MEA\sim\Delta MBE\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{ME}{MB}=\dfrac{MA}{ME}\Rightarrow ME^2=MA.MB\)
Xét \(\Delta MEC\) và \(\Delta MDE:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MEC=\angle MDE\\\angle DMEchung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MEC\sim\Delta MDE\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{ME}{MD}=\dfrac{MC}{ME}\Rightarrow ME^2=MC.MD\)
\(\Rightarrow MC.MD=MA.MB\Rightarrow MC.\left(MC+CD\right)=MA.\left(MA+AB\right)\)
\(\Rightarrow MC^2+MC.CD-MA^2-MA.AB=0\)
\(\Rightarrow\left(MC-MA\right)\left(MC+MA\right)+CD\left(MC-MA\right)\left(AB=CD\right)\)
\(=\left(MC-MA\right)\left(MC+MA+CD\right)=0\) mà \(MC+MA+CD>0\)
\(\Rightarrow MC=MA\)
a) tứ giác AOBM nội tiếp thì có tâm đường tròn là trung điểm OM
cần CM tứ giác OIMB nội tiếp: dùng tổng hai góc đối cộng với nhau bằng 180o, mà đã có OBM=90o, mà I là trung điểm dây cung CD nên OI vuông góc CD luôn => OIM=90o
Vậy tứ giác OIMB nội tiếp thì tâm đường tròn cũng tại trung điểm OM luôn
b) 5 điểm A,I,O,B,M cùng thuộc 1 đtron
=> tứ giác AIOB nội tiếp => góc AIB=AOB (cùng chắn cung)
tứ giác AIOM nội tiếp => góc AIM=AOM (ccc)
mà góc AOM=1/2AOB=AIM=1/2AIB
=> BIM=1/2AIB (đpcm
Xét ΔMBC và ΔMDB có
góc MBC=góc MDB
góc BMC chung
=>ΔMBC đồng dạng với ΔMDB
=>MB/MD=MC/MB
=>MB^2=MD*MC
a) Xét tứ giác MAOB có
\(\widehat{OAM}\) và \(\widehat{OBM}\) là hai góc đối
\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: MAOB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
b) Xét (O) có
\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{AC}\)
\(\widehat{CAM}\) là góc tạo bởi dây cung CA và tiếp tuyến AM
Do đó: \(\widehat{ADC}=\widehat{CAM}\)(Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
hay \(\widehat{MDA}=\widehat{MAC}\)
Xét ΔMDA và ΔMAC có
\(\widehat{MDA}=\widehat{MAC}\)(cmt)
\(\widehat{AMD}\) là góc chung
Do đó: ΔMDA∼ΔMAC(g-g)
⇔\(\dfrac{MD}{MA}=\dfrac{MA}{MC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇔\(MA^2=MC\cdot MD\)(đpcm)(1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền OM, ta được:
\(MA^2=MH\cdot MO\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(MH\cdot MO=MC\cdot MD\)(đpcm)
c) để chứng minh EC là tiếp tuyến:
chứng minh tứ giác OECH nội tiếp thì ta sẽ có góc OHE=OCE=90o(đpcm)
=> cần chứng minh tứ giác OECH nội tiếp:
ta có: DOC=DHC (ccc CD)
xét MHC=MDO (tam giác MCH~MOD)= OCD (vì DO=OC)=OHD (cùng chắn OD) => HA là phân giác CHD
DOC=DHC => 1/2 DOC= 1/2 DHC =COE=CHE
mà COE với CHE cùng chắn cung CE trong tứ giác OHCE nên tứ giác đấy nội tiếp => xong :))))
Xét (O) có:
CDA và ABC là 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC
=> góc CDA = góc ABC hay góc MDA= gócMBC
Xét tam giác MDA và tam giác MBC có:
góc MDA = góc MBC(cmt)
góc M chung
=> 2 tam giác trên đồng dạng(g.g)
=>\(\dfrac{MD}{MB}=\dfrac{MA}{MC}\)
=>MA.MB=MC.MD