Question

[Sách Giáo Khoa]

Cho điểm \(A\left(1;0;0\right)\) và đường thẳng \(\Delta:\left\{{}\begin{matrix}x=2+t\\y=1+2t\\z=t\end{matrix}\right.\)

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng \(\Delta\) ?

b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng \(\Delta\) ?

Answer 1

[Nguyễn Đắc Định]

a) Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương (1 ; 2 ; 1). H ∈ ∆ nên H(2 + t ; 1 + 2t ; t).

Điểm H ∈ ∆ là hình chiếu vuông góc của A lên ∆ khi và chỉ khi ⊥ .

Ta có (1+t ; 1 + 2t ; t) nên:

⊥ ⇔ = 0.

⇔ 1 + t + 2(1 + 2t) + t = 0

⇔ 6t + 3 = 0 ⇔ t = .

⇔ .

b) Gọi A' là điểm đối xứng của A qua ∆ và H là hình chiếu vuông góc của A lên ∆ thì H là trung điểm của AA'; vì vậy tọa độ của H là trung bình cộng các tọa độ tương ứng của A và A'.

Gọi A'(x ; y ; z) ta có:

=> x = 2; y = 0; z = -1.

Vậy A'(2 ; 0 ; -1).