Question

[Nguyễn Ngọc Tho]

Cho \(\Delta\)ABC vuông tại A với các đường phân giác trng BM, CN.

CM: \(\frac{\left(MC+MA\right)\left(NB+NA\right)}{MA.NA}\ge3+2\sqrt{2}\)

Answer 1

[vũ tiền châu]

Hình bạn tự vẽ nhá, ta có BĐT cần chúng minh <=>\(\frac{AC.AB}{AM.AN}\ge3+2\sqrt{2}\)

Áp dụng tính chất của đường phân giác, ta có \(\frac{AM}{AC}=\frac{AB}{AB+BC};\frac{AN}{AB}=\frac{AC}{AC+BC}\Rightarrow\frac{AB.AC}{AM.AN}=\frac{\left(AC+BC\right)\left(AB+BC\right)}{AB.AC}\)

=\(\frac{AB.AC+BC\left(AB+AC\right)+BC^2}{AB.AC}=1+\frac{BC\left(AB+AC\right)+BC^2}{AB.AC}\)

Mà \(BC=\sqrt{BC^2}=\sqrt{AB^2+AC^2}\)

Mà \(AB^2+AC^2\ge2AB.AC\Rightarrow BC\ge\sqrt{2}.\sqrt{AB.AC}\)

Vì \(AB+AC\ge2\sqrt{AB.AC}\Rightarrow BC\left(AB+AC\right)\ge2\sqrt{2}AB.AC\)(1)

Ta có \(BC^2=AB^2+AC^2\ge2AB.AC\)(2)

Từ (1) và (2) 

=>\(BC\left(AB+AC\right)+BC^2\ge2AB.AC+2\sqrt{2}AB.AC\)

=>\(\frac{BC\left(AB+AC\right)+BC^2}{AB.AC}\ge2+2\sqrt{2}\Rightarrow\frac{BC\left(AB+AC\right)+BC^2}{AB.AC}+1\ge3+2\sqrt{2}\)

=>\(\frac{AB.AC}{AM.AN}\ge3+2\sqrt{2}\left(ĐPCM\right)\)

^_^