Question

[hibiki]

cho \(\Delta ABC\)cân tại A ,đường cao AH. Gọi M là trung điểm của BH.Trên tia AM lấy N sao cho M là trung điểm cảu AN

a) CM \(\Delta AMH=\Delta NMB\)và \(NB⊥BC\)

b) CM \(BN< BA\)

c) So sánh góc BAM và góc MAH

d) Gọi I là trung điểm của NC . Chứng minh ba điểm A , H ,I thẳng hàng

Answer 1

[Online Math]

Chắc là bạn vẽ hình được!!

a)  Xét 2 tam giác AMH và NMB có:

            AM = MN  (giả thiết)

         \(\widehat{AMH}=\widehat{BMN}\) (hai góc đối đỉnh)

         BM = MH  (giả thiết)

=> \(\Delta\)AMH = \(\Delta\)NMB (c.g.c)

=> \(\widehat{MBN}=\widehat{MHA}=90^o\)(hai góc tương ứng) => \(NB⊥BC\)

b) Vì \(\Delta\)ABC cân tại A => \(\widehat{ABC}< 90^o\), mà \(\widehat{MBN}=90^o\) (cmt)

=> \(\widehat{ABC}< \widehat{MBN}\)

Xét \(\Delta ABN\), đường trung tuyến BM có \(\widehat{ABC}< \widehat{MBN}\)   => BN < BA.

c) Xét tứ giác ABNH có:  BM = MH (giả thiết)

                                     MN = AM (giả thiết)

    => tứ giác ABNH là hình bình hành (theo DHNB)

    => AM là tia phân giác \(\widehat{BAH}\)(tính chất của hình bình hành)

    => \(\widehat{BAM}=\widehat{MAH}\)

d \(\Delta ABC\)cân tại A (giả thiết), AH là đường cao => \(AH⊥BC\) (1)=> AH cũng là đường trung tuyến => BH = HC.

 Xét \(\Delta BNC\)vuông tại B có, đường trung tuyến BI (giả thiết)

   => BI = IC (t/c đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền trong tam giác vuông)

=> \(\Delta BIC\)cân tại I, mà BH = HC (cmt) => IH là đường trung tuyến của \(\Delta BIC\)cân

=> IH cũng là đường cao của \(\Delta BIC\)=> \(IH⊥BC\)(2)

Từ (1) và (2) => A, H, I thẳng hàng.

P/s: mình mất 45 phút để viết hết toàn bộ bài này!!

Answer 2

[Kurosaki Akatsu]

Tự vẽ hình nha :

a) 

Xét tam giác AMH và tam giác NMB có :

AM = NM

BM = HM                           => \(\Delta AMH=\Delta NMB\)   (1)

Góc BMN = góc HMA

b) Từ 1 , ta suy ra :

AH = BN

Xét tam giác vuông AHB có AB là cạnh huyền 

=> AH < AB

Đồng thời BN < AB (Điều phải chứng minh)

c) Từ BN < AB

=> Góc BAM < góc BNA (Quan hệ góc và cạnh)

Mặt khác góc BNA = góc MAH (từ 1)

=> Góc BAM = Góc MAH

d) Nối BI lại 

Vì tam giác BNC vuông nên 

Với BI là đường trung tuyến thì 

BI = NI = IC

Xét tam giác ABI và tam giác ACI có :

BI = CI

AB = AC    => \(\Delta ABI=\Delta ACI\)

AI chung 

=> Góc BAI = Góc CAI

=> AI là đường phân giác của góc BAC  (a)

Mặt khác , tam giác ABC cân tại A và AH là đường cao 

=> AH cũng là đường phân giác  (b) 

Từ (a) và (b) 

=> A , H , I thẳng hàng