Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì:
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + là số chính phương.
Giải: Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)(x2 + 5xy + 6y2) + y4
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t (t ∈ Z) thì
A = (t - y2)(t + y2) + y4 = t2 - y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
Vì x, y, z ∈ Z nên x2 ∈ Z, 5xy ∈ Z, 5y2 ∈ Z => (x2 + 5xy + 5y2) ∈ Z
Vậy A là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.
Giải: Gọi 4 số tự nhiên, liên tiếp đó là n, n + 1, n + 2, n + 3 (n ∈ Z). Ta có:
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1
= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n2 + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2
= (n2 + 3n + 1)2
Vì n ∈ N nên n2 + 3n + 1 ∈ N. Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là số chính phương.
a) Ta đặt \(P\left(x\right)=x^2+x+1\)
\(P\left(x\right)=x^2+x-20+21\)
\(P\left(x\right)=\left(x+5\right)\left(x-4\right)+21\)
Giả sử tồn tại số tự nhiên \(x\) mà \(P\left(x\right)⋮9\) \(\Rightarrow P\left(x\right)⋮3\). Do \(21⋮3\) nên \(\left(x+5\right)\left(x-4\right)⋮3\).
Mà 3 là số nguyên tố nên suy ra \(\left[{}\begin{matrix}x+5⋮3\\x-4⋮3\end{matrix}\right.\)
Nếu \(x+5⋮3\) thì suy ra \(x-4=\left(x+5\right)-9⋮3\) \(\Rightarrow\left(x+4\right)\left(x-5\right)⋮9\)
Lại có \(P\left(x\right)⋮9\) nên \(21⋮9\), vô lí.
Nếu \(x-4⋮3\) thì suy ra \(x+5=\left(x-4\right)+9⋮3\) \(\Rightarrow\left(x+4\right)\left(x-5\right)⋮9\)
Lại có \(P\left(x\right)⋮9\) nên \(21⋮9\), vô lí.
Vậy điều giả sử là sai \(\Rightarrow x^2+x+1⋮̸9\)
b) Vì \(x^2+x+1⋮̸9\) nên \(y\le1\Rightarrow y\in\left\{0;1\right\}\)
Nếu \(y=0\Rightarrow x^2+x+1=1\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(nhận\right)\\x=-1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Nếu \(y=1\) \(\Rightarrow x^2+x+1=3\)
\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(nhận\right)\\x=-2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy ta tìm được các cặp số (x; y) thỏa ycbt là \(\left(0;0\right);\left(1;1\right)\)
a) Ta đặt
�
(
�
)
=
�
2
+
�
+
1
P(x)=x
2
+x+1
�
(
�
)
=
�
2
+
�
−
20
+
21
P(x)=x
2
+x−20+21
�
(
�
)
=
(
�
+
5
)
(
�
−
4
)
+
21
P(x)=(x+5)(x−4)+21
Giả sử tồn tại số tự nhiên
�
x mà
�
(
�
)
⋮
9
P(x)⋮9
⇒
�
(
�
)
⋮
3
⇒P(x)⋮3. Do
21
⋮
3
21⋮3 nên
(
�
+
5
)
(
�
−
4
)
⋮
3
(x+5)(x−4)⋮3.
Mà 3 là số nguyên tố nên suy ra
[
�
+
5
⋮
3
�
−
4
⋮
3
x+5⋮3
x−4⋮3
Nếu
�
+
5
⋮
3
x+5⋮3 thì suy ra
�
−
4
=
(
�
+
5
)
−
9
⋮
3
x−4=(x+5)−9⋮3
⇒
(
�
+
4
)
(
�
−
5
)
⋮
9
⇒(x+4)(x−5)⋮9
Lại có
�
(
�
)
⋮
9
P(x)⋮9 nên
21
⋮
9
21⋮9, vô lí.
Nếu
�
−
4
⋮
3
x−4⋮3 thì suy ra
�
+
5
=
(
�
−
4
)
+
9
⋮
3
x+5=(x−4)+9⋮3
⇒
(
�
+
4
)
(
�
−
5
)
⋮
9
⇒(x+4)(x−5)⋮9
Lại có
�
(
�
)
⋮
9
P(x)⋮9 nên
21
⋮
9
21⋮9, vô lí.
Vậy điều giả sử là sai \Rightarrow x^2+x+1⋮̸9
b) Vì x^2+x+1⋮̸9 nên
�
≤
1
⇒
�
∈
{
0
;
1
}
y≤1⇒y∈{0;1}
Nếu
�
=
0
⇒
�
2
+
�
+
1
=
1
y=0⇒x
2
+x+1=1
⇔
�
(
�
+
1
)
=
0
⇔x(x+1)=0
⇔
[
�
=
0
(
�
ℎ
ậ
�
)
�
=
−
1
(
�
�
ạ
�
)
⇔[
x=0(nhận)
x=−1(loại)
Nếu
�
=
1
y=1
⇒
�
2
+
�
+
1
=
3
⇒x
2
+x+1=3
⇔
�
2
+
�
−
2
=
0
⇔x
2
+x−2=0
⇔
(
�
−
1
)
(
�
+
2
)
=
0
⇔(x−1)(x+2)=0
⇔
[
�
=
1
(
�
ℎ
ậ
�
)
�
=
−
2
(
�
�
ạ
�
)
⇔[
x=1(nhận)
x=−2(loại)
Vậy ta tìm được các cặp số (x; y) thỏa ycbt là
(
0
;
0
)
;
(
1
;
1
)
(0;0);(1;1)
Ta có: (2x+3y)2<(2x+3y)2+5x+5y+1<(2x+3y+2)2(2x+3y)2<(2x+3y)2+5x+5y+1<(2x+3y+2)2.
Do đó để (2x+3y)2+5x+5y+1(2x+3y)2+5x+5y+1 là số chính phương thì (2x+3y)2+5x+5y+1=(2x+3y+1)2⇔x=y(2x+3y)2+5x+5y+1=(2x+3y+1)2⇔x=y.
Vậy x = y
-game là dễ
Ta có: (2x+3y)2<(2x+3y)2+5x+5y+1<(2x+3y+2)2(2x+3y)2<(2x+3y)2+5x+5y+1<(2x+3y+2)2.
Do đó để (2x+3y)2+5x+5y+1(2x+3y)2+5x+5y+1 là số chính phương thì (2x+3y)2+5x+5y+1=(2x+3y+1)2⇔x=y(2x+3y)2+5x+5y+1=(2x+3y+1)2⇔x=y.
Vậy x = y
$x=5; y=-3$ thì $(x+y)^2+4x+1$ là scp mà $x\neq y$.
Bạn xem lại đề.
a) Giả sử \(x^2+x⋮̸9\)
\(\Rightarrow x^2+x=x\left(x+1\right).x\left(x+1\right)⋮̸9\)
\(\Rightarrow x^2+x+1⋮̸9\)
\(\Rightarrow dpcm\)
b) \(x^2+x+1=3^y\)
\(\Rightarrow x\left(x+1\right)=3^y-1\left(1\right)\)
Ta thấy \(x\left(x+1\right)\) là số chẵn
\(\left(1\right)\Rightarrow3^y-1\) là số chẵn
\(\Rightarrow y\) là số lẻ
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(x+1\right)=3^y-1\left(x\inℕ\right)\\y=2k+1\left(k\inℕ\right)\end{matrix}\right.\) thỏa đề bài
Đính chính
a) Giả sử \(x^2+x\) \(⋮̸9\)
\(\Rightarrow x^2+x=x\left(x+1\right)\) \(⋮̸9\)
\(\Rightarrow x\left(x+1\right).x\left(x+1\right)\) \(⋮̸9\)
\(\Rightarrow x^2+x+1\) \(⋮̸9\)
b) \(x^2+x+1=3^y\)
\(\Rightarrow x\left(x+1\right)=3^y-1\left(1\right)\)
mà \(\left\{{}\begin{matrix}x\left(x+1\right)\\3^y-1\end{matrix}\right.\) là số chẵn
\(\left(1\right)\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x\left(x+1\right)=3^y-1=2k\\\forall x;y;k\inℕ\end{matrix}\right.\)
Lời giải:Gọi tổng bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp là:
$T=a^2+(a+1)^2+(a+2)^2+(a+3)^2+(a+4)^2$
$T=5a^2+20a+30=5(a^2+4a+6)=5[(a+2)^2+2]$
Vì $(a+2)^2$ là scp nên chia 5 dư $0,1,4$. Do đó $(a+2)^2+2$ chia $5$ dư $1,2,3$
$\Rightarrow T$ chia hết cho $5$ nhưng không chia hết cho $25$ nên $T$ không phải là scp.
Ta có đpcm.
Gọi 5 số bình phương các số liên tiếp là : a2 ; (a+1)2;(a+2)2;(a+3)2;(a+4)2
Vậy tổng là:
a2 + (a+1)2+ (a+2)2 + (a+3)2 + (a+4)2= 5a2+1+4+9+16=5a2+30
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là n-2;n-1;n;n+1;n+2
Ta có A=(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2
=5n^2+10=5(n^2+2)
n^2 không tận cùng là 3;8 =>n^2+2 không tận cùng là 0 hoặc 5 =>n^2+2 không chia hết cho 5
=>5(n^2+2) không chia hết cho 25 => A không phải là số chính phương