Question

[VUX NA]

Cho các số thực x, y,z thỏa mãn 0 ≤ x,y,z ≤ 1 . Chứng minh rằng 

x + y + z - 2( xy + yz + zx ) + 4xyz ≤ 1

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

$2\text{VT}=2(x+y+z)-4(xy+yz+xz)+8xyz$

$=(2x-1)(2y-1)(2z-1)+1$

Do $x,y,z\in [0;1]$ nên $-1\leq 2x-1, 2y-1, 2z-1\leq 1$

$\Rightarrow (2x-1)(2y-1)(2z-1)\leq 1$

$\Rightarrow 2\text{VT}\leq 2$

$\Rightarrow \text{VT}\leq 1$
Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,1,1), (0,0,1)$ và hoán vị.