Question

[Angela jolie]

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=0. CMR: \(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Số dương thì sao \(a+b+c=0\) được? Chắc là \(a+b+c=1\) mới đúng

Khi đó:

\(VT=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}=\frac{2a}{2\sqrt{a\left(b+c\right)}}+\frac{2b}{2\sqrt{b\left(a+c\right)}}+\frac{2c}{2\sqrt{c\left(a+b\right)}}\)

\(VT\ge\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)

Dấu "=" không xảy ra nên:

\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)