Question

[nguyen ngoc son]

cho biểu thức

Q=\(\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1}\right).\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

a. rút gọn biểu thức Q

b.tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a. ĐKXĐ: $x\neq 1; x>0$

\(A=\left[\frac{\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}+1)^2}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right].\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}+2-(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)^2}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

\(=\frac{1}{(\sqrt{x}+1)^2}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}\)

b. Với $x$ nguyên, để $Q$ nguyên thì $\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)$ là ước của $1$

Mà $\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)>0$ với mọi $x>0; x\neq 1$ nên $\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)=1$

$\Leftrightarrow x+\sqrt{x}-1=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ (vô lý) 

Vậy không tồn tại $x$ thỏa mãn đề bài.