Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(a=b+c\Rightarrow c=a-b\)
\(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}=\sqrt{\dfrac{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}{a^2b^2c^2}}=\sqrt{\dfrac{b^2\left(a-b\right)^2+a^2\left(a-b\right)^2+a^2b^2}{a^2b^2c^2}}=\sqrt{\dfrac{b^4+a^2b^2-2ab^3+a^4+a^2b^2-2a^3b+a^2b^2}{a^2b^2c^2}}=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2-2ab\left(a^2+b^2\right)+a^2b^2}{a^2b^2c^2}}=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+b^2-ab\right)^2}{a^2b^2c^2}}=\left|\dfrac{a^2+b^2-ab}{abc}\right|\)
=> Là một số hữu tỉ do a,b,c là số hữu tỉ
Ta có \(a+b+c=abc\Leftrightarrow\dfrac{a+b+c}{abc}=1\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=1\)
Lại có \(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)\)
\(\Leftrightarrow2^2=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=2\) (đpcm)
1) Từ \(\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}=0\), suy ra
\(\dfrac{a}{b-c}=\dfrac{b}{a-c}+\dfrac{c}{b-a}=\dfrac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}\)
Nhân cả 2 vế với \(\dfrac{1}{b-c}\Rightarrow\dfrac{a}{\left(b-c\right)^2}=\dfrac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(1\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{b}{\left(c-a\right)^2}=\dfrac{c^2-bc+ba-a^2}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\left(2\right)\)
\(\dfrac{c}{\left(a-b\right)^2}=\dfrac{a^2-ca+bc-b^2}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\left(3\right)\)
Cộng \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) vế theo vế, ta được:
\(\dfrac{a}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{b}{\left(c-a\right)^2}+\dfrac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)
2) Đặt vế trái đẳng thức cần chứng minh là P
Đặt \(A=\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\), ta có:
\(A.\dfrac{c}{a-b}=1+\dfrac{c}{a-b}\left(\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)=1+\dfrac{c}{a-b}.\dfrac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\)
\(=1+\dfrac{c}{a-b}.\dfrac{\left(a-b\right)\left(c-a-b\right)}{ab}=1+\dfrac{2c^2}{ab}=1+\dfrac{2c^3}{abc}\)
Tương tự: \(A.\dfrac{a}{b-c}=1+\dfrac{2a^3}{abc},A.\dfrac{b}{c-a}=1+\dfrac{2b^3}{abc}\)
Vậy \(P=3+\dfrac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}=9\)
P/S: \(a+b+c=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)(Cái này tự chứng minh)
Em kiểm tra lại mẫu số của biểu thức c, chắc chắn đề sai