Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
BĐT này do giáo sư Vasile đề xuất, và đây là lời giải của ông ấy:
Do vai trò của các biến là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(a^2=max\left\{a^2;b^2;c^2;d^2\right\}\)
\(\Rightarrow a^2\ge\dfrac{b^2+c^2+d^2}{3}\)
Đặt \(x^2=\dfrac{b^2+c^2+d^2}{3}\Rightarrow x^2\le a^2\) (1)
Đồng thời \(x^2=\dfrac{b^2+c^2+d^2}{3}\ge\dfrac{1}{9}\left(b+c+d\right)^2=\dfrac{a^2}{9}\Rightarrow a^2\le9x^2\) (2)
\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left(a^2-x^2\right)\left(a^2-9x^2\right)\le0\) (3)
Ta có:
\(b^4+c^4+d^4=\left(b^2+c^2+d^2\right)^2-2\left(b^2c^2+c^2d^2+b^2d^2\right)\le\left(b^2+c^2+d^2\right)^2-\dfrac{2}{3}\left(bc+cd+bd\right)^2\)
\(=\left(b^2+c^2+d^2\right)^2-\dfrac{1}{6}\left[\left(b+c+d\right)^2-\left(b^2+c^2+d^2\right)\right]^2=9x^4-\dfrac{1}{6}\left(a^2-3x^2\right)^2=\dfrac{45x^4+6a^2x^2-a^4}{6}\)
Do đó:
\(12\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\le12a^4+12.\dfrac{45x^4+6a^2x^2-a^4}{6}=90x^4+12a^2x^2+10a^4\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(7\left(a^2+3x^2\right)^2\ge90x^4+12a^2x^2+10a^4\)
\(\Leftrightarrow a^4-10a^2x^2+9x^4\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-9x^2\right)\left(a^2-x^2\right)\le0\) (đúng theo (3))
Vậy BĐT được chứng minh hoàn tất.
Dấu "=" xảy ra khi \(b=c=d=-\dfrac{a}{3}\) và các hoán vị của chúng
Ta có: \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\sqrt[4]{\left(abcd\right)^2}=4\)(AM-GM) (abcd=1)
Lại có: \(a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)\)
\(=ab+ac+bc+bd+cd+ac+ad+bd\)
\(\ge8\sqrt[8]{\left(abcd\right)^4}=8\)(AM-GM)
Từ đó:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)\ge4+8=12\)
=> ĐPCM. Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=d=1.
Áp dụng bđt Cosi ta có: \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2;\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2;\frac{c^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge2\)\(;\frac{d^2}{d+a}+\frac{d+a}{4}\ge2\)
Cộng theo vế và a+b+c+d=1 ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2}{a+b}=\frac{a+b}{4};\frac{b^2}{b+c}=\frac{b+c}{4};\frac{c^2}{c+d}=\frac{c+d}{4};\frac{d^2}{d+a}=\frac{d+a}{4}\\\\a=b=c=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
Đặt a+b=x;c+d=ya+b=x;c+d=y ta cần chứng minh :xy+4≥2(x+y)⇔(x−2)(y−2)≥0xy+4≥2(x+y)⇔(x−2)(y−2)≥0
Mặt khác ta luôn có x=a+b≥2√ab=2;y=c+d≥2√cd=2x=a+b≥2ab=2;y=c+d≥2cd=2
Như vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=d=1
Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:
\(\frac{a^4}{c}+\frac{b^4}{d}\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{c+d}=\frac{1}{c+d}\)
dấu = xảy ra khi\(\frac{a^2}{c}=\frac{b^2}{d}\Leftrightarrow a^2d=b^2c\)và \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
mà theo đề:\(\frac{a^4}{c}+\frac{b^4}{d}=\frac{1}{c+d}\Leftrightarrow a^2d=b^2c\)
Áp dụng BĐT cauchy:\(\frac{a^2}{c}+\frac{d}{b^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2d}{b^2c}}=2\)
dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Đây là hệ quả của bđt phải k bạn ?