Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ques này nhiều ng` hỏi r` thay ab+bc+ca=1 vào rồi phân tích rút gọn
Do ab + bc + ca = 1 nên ta có :
\(a\sqrt{\frac{\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{a^2+1}}=a\sqrt{\frac{\left(b^2+ab+ac+bc\right)\left(c^2+ab+ac+bc\right)}{a^2+ab+ac+bc}}\)
\(=a\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}=a\sqrt{\left(b+c\right)^2}=a\left(b+c\right)=ab+ac\text{ }\left(1\right)\)
Tương tự : \(b\sqrt{\frac{\left(a^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{b^2+1}}=ab+bc\) (2)và \(c\sqrt{\frac{\left(b^2+1\right)\left(a^2+1\right)}{c^2+1}}=bc+ac\) (3)
Cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) lại ta được :
\(a\sqrt{\frac{\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{a^2+1}}+b\sqrt{\frac{\left(a^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{b^2+1}}+c\sqrt{\frac{\left(b^2+1\right)\left(a^2+1\right)}{c^2+1}}=2\left(ab+bc+ac\right)=2\)
\(gt\Rightarrow1=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+1=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\frac{1}{ab}\sqrt{\frac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}{c^2+1}}=\sqrt{\frac{\left(1+\frac{1}{a^2}\right)\left(1+\frac{1}{b^2}\right)}{c^2\left(1+\frac{1}{c^2}\right)}}\)
\(=\frac{1}{c}.\sqrt{\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}{\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{b}\right)}}=\frac{1}{c}\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}\)
\(=\frac{1}{c}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)
Tương tự với các cụm còn lại, ta được
\(A=2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=2\)
bài này khó thật, nhưng bạn đừng buồn, sẽ có nhiều bạn khác giúp bạn
nha 
Nguyễn Quang Linh à
Từ ab + bc + ac =1
=> ab + bc + ac + a2 = 1 + a2
=> 1 + a2 = (a+b)(a+c) (1)
Tương tự: 1 + b2 = (a+b)(b+c) (2)
1 + c2 = (a+c)(b+c) (3)
Thay (1) (2) (3) vào P
P= a\(\sqrt{\left(b+c\right)^2}\)+ b\(\sqrt{\left(a+c\right)^2}\)+ c\(\sqrt{\left(a+b\right)^2}\)
= a|b+c| + b|a+c| + c|a+b|
= a(b+c) + b(a+c) + c(a+b) (do a,b,c >0)
= ab + ac +ab + bc +ac +bc
= 2(ab + ac + bc)
=2
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có
\(VT\ge\frac{\left[3-\left(a+b+c\right)\right]^2}{\sum\sqrt{2\left(b+c\right)^2+bc}}=\frac{4}{\sum\sqrt{2\left(b+c\right)^2+bc}}\)\(\ge\frac{4}{\sum\sqrt{2\left(b+c\right)^2+\frac{\left(b+c\right)^2}{4}}}=\frac{4}{\sum\sqrt{\frac{9\left(b+c\right)^2}{4}}}\)\(=\frac{8}{6\left(a+b+c\right)}=\frac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\sqrt{2\left(b+c\right)^2+bc}\le\sqrt{2\left(b+c\right)^2+\frac{1}{4}\left(b+c\right)^2}=\frac{3}{2}\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(1-c\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+bc}}\ge\frac{2}{3}.\frac{\left(1-c\right)^2}{\left(b+c\right)}\)
Tương tự ta có:
\(Q\ge\frac{2}{3}\left(\frac{\left(1-c\right)^2}{b+c}+\frac{\left(1-a\right)^2}{a+c}+\frac{\left(1-b\right)^2}{a+b}\right)\)
\(Q\ge\frac{2}{3}.\frac{\left(1-a+1-b+1-c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(3-\left(a+b+c\right)\right)^2}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{4}{3}\)
\(Q_{min}=\frac{4}{3}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Nhiều quá làm 1 bài tiêu biểu thôi nhé:
a/ \(A=\frac{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}{\left(ab+bc+ca+a^2\right)\left(ab+bc+ca+b^2\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(c+a\right)\left(b+c\right)}=1\)
Ta có:
\(1+a^2=ab+bc+ca+a^2=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)tương tự ta tính được GT của bt.