Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTNN của : A=$\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}$

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Chọn lớp

Chọn môn

Mua vip

Nguyễn Thu Hương

10 tháng 4 2018

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$.

Tìm GTNN của :

A=$\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}$

#Toán lớp 8

Nhó'k Sa'Ka

10 tháng 4 2018

Violympic toán 8

Đúng(0)

Nhó'k Sa'Ka

10 tháng 4 2018

Violympic toán 8

Đúng(0)

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

Trương pHÁT

28 tháng 5 2022

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Tìm GTNN của biểu thức

S=$\dfrac{a^2+b^2+2}{a+b-ab}+\dfrac{a^2+c^2+2}{a+c-ac}+\dfrac{c^2+b^2+2}{c+b-bc}$

#Toán lớp 8

Vô danh

3 tháng 4 2022

B1: Cho $0\le a,b,c\le2$ thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR: $a^2+b^2+c^2\le5$B2: Cho $a,b\ge0$ thỏa mãn $a^2+b^2=a+b$. TÌm GTLN $S=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}$B3: CMR: \(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\forall x\ne...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

Trần Tuấn Hoàng

3 tháng 4 2022

Bài 3:

$\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}$

$\Leftrightarrow x^2y^2\left(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\ge\dfrac{4}{xy}.x^2y^2$

$\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2+y^2\ge4xy$

$\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2-2xy+y^2\ge2xy$

$\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge2xy$

$\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2-2xy+\left(x-y\right)^2\ge0$

$\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}-x+y\right)^2=0$ (luôn đúng)

Đúng(4)

Trần Tuấn Hoàng

3 tháng 4 2022

-Tham khảo:

undefined

Đúng(3)

Lil Shroud

8 tháng 1 2021

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Tìm GTNN của biểu thức $P=\dfrac{ab}{a+2b}+\dfrac{bc}{b+2c}+\dfrac{ca}{c+2a}$

#Toán lớp 8

Trần Minh Hoàng

8 tháng 1 2021

Hi vọng là tìm GTLN:

Không mất tính tổng quát, giả sử b, c cùng phía với 1 $\Rightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow bc\ge b+c-1$.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

$4=a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+2bc+abc\Leftrightarrow2bc+abc\le4-a^2\Leftrightarrow bc\left(a+2\right)\le\left(2-a\right)\left(a+2\right)\Leftrightarrow bc+a\le2$

$\Rightarrow a+b+c\le3$.

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:

$P\le\dfrac{ab}{9}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\right)+\dfrac{bc}{9}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)+\dfrac{ca}{9}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}\right)=\dfrac{1}{9}.3\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)\le1$.

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

Đúng(3)

Lil Shroud

8 tháng 1 2021

đề là tìm GTNN ạ, dù gì cũng cảm ơn bạn nha <3

Đúng(0)

Vũ Thành Hưng

9 tháng 3 2021

Cho 3 số a , b , c khác 0 thỏa mãn : $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}$

Chứng minh rằng : a=b=c

#Toán lớp 8

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

9 tháng 3 2021

$\Leftrightarrow\dfrac{2a^2}{b^2}+\dfrac{2b^2}{c^2}+\dfrac{2c^2}{a^2}=\dfrac{2a}{c}+\dfrac{2c}{b}+\dfrac{2b}{a}$

$\Leftrightarrow\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}-\dfrac{2a}{c}\right)+\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{c^2}{a^2}-\dfrac{2c}{b}\right)+\left(\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}-\dfrac{2b}{a}\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{c}\right)^2+\left(\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{a}\right)^2+\left(\dfrac{b}{c}-\dfrac{c}{a}\right)^2=0$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{c}=0\\\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{a}=0\\\dfrac{b}{c}-\dfrac{c}{a}=0\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}\Leftrightarrow a=b=c$

Đúng(2)

Big City Boy

10 tháng 3 2021

Cho a, b, c >0 thỏa mãn: abc=1. CM: $\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{1}{c^2-ac+a^2}\le a+b+c$

#Toán lớp 8

✿✿❑ĐạT̐®ŋɢย❐✿✿

10 tháng 3 2021

Ta có : $a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow a^2+b^2-ab\ge ab$

$\Rightarrow\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}\le\dfrac{1}{ab}=\dfrac{abc}{ab}=c$ ( do $abc=1$ )

Tương tự ta có :

$\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}\le a$

$\dfrac{1}{c^2-ab+a^2}\le b$

Cộng vế với vế các BĐT trên có :

$\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{1}{c^2-ac+a^2}\le a+b+c$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Đúng(2)

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

10 tháng 3 2021

$VT=\dfrac{1}{a^2+b^2-ab}+\dfrac{1}{b^2+c^2-bc}+\dfrac{1}{c^2+a^2-ca}$

$VT\le\dfrac{1}{2ab-ab}+\dfrac{1}{2bc-bc}+\dfrac{1}{2ca-ca}=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{a+b+c}{abc}=a+b+c$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Đúng(2)

Mạnh Dũng

12 tháng 1 2021

Cho các số a, b, c khác 0 thỏa mãn: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0$

Tính $S=\dfrac{2013a^2-2014}{a^2+2bc}+\dfrac{2013b^2-2014}{b^2+2ca}+\dfrac{2013c^2-2014}{c^2+2ab}$

#Toán lớp 8

tthnew

13 tháng 1 2021

Ta có kết quả tổng quát hơn như sau:

Cho $a,b,c \neq 0$ thỏa mãn $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0.$

Chứng minh rằng $$S={\frac {k{a}^{2}-k-1}{{a}^{2}+2\,bc}}+{\frac {{b}^{2}k-k-1}{2\,ac+{b}^{2}}}+{\frac {{c}^{2}k-k-1}{2\,ab+{c}^{2}}}=k$$

Đúng(1)

๖ۣۜN̸͟͞G̸̸͟͟͞͞ọC̸̸͟͟͞͞❄V̸͟͞Y̸̸͟͟͞͞☆

9 tháng 12 2021

1)cho Q=$\dfrac{a^4+a^3-a^2-2a-2}{a^4+2a^3-a^2-4a-2}$

Tìm GTNN của Q

2)cho $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$ và $\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=0$

CMR: $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$

#Toán lớp 8

Nguyễn Hoàng Minh

9 tháng 12 2021

$1,Q=\dfrac{a^4-2a^2+a^3-2a+a^2-2}{a^4-2a^2+2a^3-4a+a^2-2}\\ Q=\dfrac{\left(a^2-2\right)\left(a^2+a+1\right)}{\left(a^2-2\right)\left(a^2+2a+1\right)}=\dfrac{a^2+a+1}{a^2+2a+1}$

$Q=\dfrac{x^2+x+1}{\left(x+1\right)^2}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{x^2+x+1-\dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{4}}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{3}{4}\\ Q=\dfrac{\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{\dfrac{1}{4}\left(x-1\right)^2}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\\ Q_{min}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow x=1$

Đúng(4)

Nguyễn Hoàng Minh

9 tháng 12 2021

$2,\text{Từ GT }\Leftrightarrow\dfrac{ayz+bxz+czy}{xyz}=0\\ \Leftrightarrow ayz+bxz+czy=0\\ \text{Ta có }\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\\ \Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}\right)^2=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}+2\left(\dfrac{xy}{ab}+\dfrac{yz}{bc}+\dfrac{zx}{ca}\right)=0\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}+2\cdot\dfrac{cxy+ayz+bzx}{abc}=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}+2\cdot\dfrac{0}{abc}=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$

Đúng(4)

Quang Đẹp Trai

4 tháng 6 2023 - olm

Tìm tất cả các bộ số thực (a, b, c) thỏa mãn hệ phương...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

Lê Song Phương

5 tháng 6 2023

đkxđ: $abc\ne0$

$a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ $\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2$

Kết hợp với $a^2+b^2+c^2=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}$ và đẳng thức $\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)=2\left(xy+yz+zx\right)$, dễ dàng suy ra $ab+bc+ca=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}$ $\Leftrightarrow ab+bc+ca=\dfrac{a+b+c}{abc}$ $\Leftrightarrow a+b+c=abc\left(ab+bc+ca\right)$ (1)

Mặt khác, $a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ $\Leftrightarrow a+b+c=\dfrac{ab+bc+ca}{abc}$ $\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\left(a+b+c\right)$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $a+b+c=\left(abc\right)^2\left(a+b+c\right)$ $\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\abc=\pm1\end{matrix}\right.$

TH1: $a+b+c=0$, suy ra $\dfrac{ab+bc+ca}{abc}=0$ hay $ab+bc+ca=0$, từ đó suy ra $a^2+b^2+c^2=0$ $\Leftrightarrow a=b=c=0$, loại

TH2: $abc=1$. Ta dễ dàng suy ra được $a+b+c=ab+bc+ca$. Ta có $\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)$ $=abc-\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)-1$ $=0$ nên suy ra $\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.$. Giả sử $a=1$. Khi đó ta có $bc=1$

Thay lại vào 2 pt đã cho, ta đều thấy thỏa mãn. Vậy ta tìm được 1 tập nghiệm của hệ là $S_1=\left\{\left(a;b;c\right)|a=1;bc=1\right\}$ và các hoán vị của mỗi nghiệm thuộc tập S₁.

TH3: $abc=-1$. Ta kiểm chứng được $a+b+c+ab+bc+ca=0$. Ta có $\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=abc+ab+bc+ca+a+b+c+1=0$ nên $\left[{}\begin{matrix}a=-1\\b=-1\\c=-1\end{matrix}\right.$. Nếu $a=-1$ thì suy ra $bc=1$. Thử lại vào cả 2 pt ta đều thấy thỏa mãn. Như vậy ta tìm được tập nghiệm nữa của hpt đã cho là $S_2=\left\{\left(a;b;c\right)|a=-1;bc=1\right\}$ và các hoán vị của mỗi bộ nghiệm trong các nghiệm thuộc $S_2$.

Vậy tập nghiệm của hpt đã cho là $S=S_1\cup S_2=\left\{\left(a;b;c\right)|a=\pm1;bc=1\right\}$ và các hoán vị của mỗi phần tử thuộc S.

Đúng(3)

Nguyễn Thu Hương

11 tháng 4 2018

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$

Tìm GTNN của:

A=$\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}$

#Toán lớp 8

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP