Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
đặt x = a; y = b/2; z = c/3. khi đó ta có \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\le1.\)
quy đồng, nhân chéo ta được (1+x)(1+y) + (1+y)(1+z) + (1+z)(1+x) \(\le\)(1+x)(1+y)(1+z).
nhân phá ngoặc, rút gọn ta được x + y + z + 2 \(\le\)xyz. (1)
mặt khác ta có \(1\ge\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{9}{\left(1+x\right)+\left(1+y\right)+\left(1+z\right)}\ge\frac{9}{x+y+z+3}\)
nên x+ y + z \(\ge\)6 (2)
từ (1) và (2) suy ra xyz \(\ge\)8 hay S = abc \(\ge\)48.
dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 2 hay a = 2; b = 4; c = 6.
vậy Min S = 48.
\(A\ge3\left(a+b+c\right)+\frac{9}{a+b+c}=3.3+\frac{9}{3}=12\)
\(A_{min}=12\) khi \(a=b=c=1\)
Ta cần chứng minh: \(3a+\frac{1}{a}\ge2a+2\Leftrightarrow3a+\frac{1}{a}-4\ge2\left(a-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{3a^2-4a+1}{a}-2\left(a-1\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(\frac{3a-1}{a}-2\right)\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)^2}{a}\)(đúng)
Tương tự: \(3b+\frac{1}{b}\ge2b+2;3c+\frac{1}{c}\ge2c+2\)
Cộng theo vế: \(A\ge2\left(a+b+c\right)+6=12\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
\(\text{⋄}\)Dễ có: \(B\ge\left(3+\frac{4}{a+b}\right)\left(3+\frac{4}{b+c}\right)\left(3+\frac{4}{c+a}\right)\)
\(\text{⋄}\)Đặt \(b+c=x;c+a=y;a+b=z\left(x,y,z>0\right)\)thì \(a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{z+x-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)
Giả thiết được viết lại thành: \(x+y+z\le3\)và ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left(3+\frac{4}{x}\right)\left(3+\frac{4}{y}\right)\left(3+\frac{4}{z}\right)\)
\(\text{⋄}\)Ta có: \(\left(3+\frac{4}{x}\right)\left(3+\frac{4}{y}\right)\left(3+\frac{4}{z}\right)=27+36\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+48\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)+\frac{64}{xyz}\)\(\ge27+36.\frac{9}{x+y+z}+48.\frac{27}{\left(x+y+z\right)^2}+64.\frac{27}{\left(x+y+z\right)^3}\ge343\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1/2
cách làm như trên sẽ k được điểm, bởi bn làm ngược lại , đoán điểm rơi xong thay vào ,nếu k đoán được thì sao ?
thứ 2, a,b,c lớn nhất có thể = căn 3 >1 ,giả sử a= căn 3,b=c=0.
hôm nọ có god chém pqr rất thần thánh, e xin ''mượn'' lại:
Đặt \(\hept{\begin{cases}a+b+c=p\\ab+bc+ca=q\\abc=r\end{cases}}\)
\(P=2p+\frac{q}{r}\)
ta có BĐT \(q^2\ge3rp\)(auto chứng minh)
\(\Leftrightarrow\frac{q}{r}\ge\frac{3p}{q}\)
do đó \(P\ge2p+\frac{3p}{q}\)và \(q=\frac{p^2-3}{2}\)
cần cm \(P\ge9\Leftrightarrow2p+\frac{6p}{p^2-3}\ge9\Leftrightarrow\left(p-3\right)^2\left(2p+3\right)\ge0\)(luôn đúng)
vậy\(P\ge9\)
Có: \(\frac{2018a+3}{1+b^2}=2018a+3-\frac{b^2\left(2018a+3\right)}{1+b^2}\) (Làm tắt ráng hiểu ^^)
\(\ge2018a+3-\frac{b^2\left(2018a+3\right)}{2b}\left(Cauchy\right)\)
\(=2018a+3-\frac{b\left(2018a+3\right)}{2}\)
\(=2018a+3-\frac{2018ab+3b}{2}\)
Tương tự \(\frac{2018b+3}{1+c^2}\ge2018b+3-\frac{2018bc+3b}{2}\)
\(\frac{2018c+3}{1+a^2}\ge2018c+3-\frac{2018ac+3a}{2}\)
CỘng vế với vế của các bđt trên lại ta được
\(A\ge2018\left(a+b+c\right)+9-\frac{2018\left(ab+bc+ca\right)+3\left(a+b+c\right)}{2}\)
\(=2018\left(a+b+c\right)+9-\frac{6054+3\left(a+b+c\right)}{2}\)
\(=2018\left(a+b+c\right)-\frac{3\left(a+b+c\right)}{2}-3018\)
\(=\frac{4033\left(a+b+c\right)}{2}-3018\)
Ta có bđt phụ : \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}\)(1)
Thật vậy \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\ge3ab+3bc+3ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Nên (1) được chứng minh
ÁP dụng (1) ta được \(A\ge\frac{4033\left(a+b+c\right)}{2}-3018\ge\frac{4033}{2}\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}-3018\)
\(=\frac{4033}{2}\sqrt{3.3}-3018\)
\(=\frac{6063}{2}\)
Dấu "='' xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\ab+bc+ca=3\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=1\)
Vậy \(A_{min}=\frac{6063}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Ta có:
\(\frac{1}{a+2}+\frac{3}{b+4}\le1-\frac{2}{c+3}\)
\(\Rightarrow1-\frac{1}{a+2}\ge\frac{3}{b+4}+\frac{2}{c+3}\ge2\sqrt{\frac{6}{\left(b+4\right)\left(c+3\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{a+2}\ge2\sqrt{\frac{6}{\left(b+4\right)\left(c+3\right)}}\left(1\right)\)
Tương tự : \(1-\frac{3}{b+4}\ge\frac{1}{a+2}+\frac{2}{c+3}\ge2\sqrt{\frac{2}{\left(a+2\right)\left(c+3\right)}}\Leftrightarrow\frac{b+1}{b+4}\ge2\sqrt{\frac{2}{\left(a+2\right)\left(c+3\right)}}\left(2\right)\)
và \(\frac{c+1}{c+3}\ge2\sqrt{\frac{3}{\left(a+2\right)\left(b+4\right)}}\left(3\right)\)
Từ 1,2,3 ta có:
\(\frac{a+1}{a+2}.\frac{b+1}{b+4}.\frac{c+1}{c+3}\ge\frac{48}{\left(a+2\right)\left(b+4\right)\left(c+3\right)}\Leftrightarrow Q\ge48\)
Vậy Min Q =48 khi a=1,b=5,c=3