K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

16 tháng 5 2019

1 ) (a+b+c)^2 >= 3(ab+bc+ac)

<=> a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ac

<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 >= 2ab + 2bc + 2ac

<=> a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + a^2 - 2ac + c^2 >= 0 

<=> (a - b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 >= 0 

( luôn đúng với mọi a ; b ; c )

( đpcm )

2 ) P =  \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac}+\frac{ab+bc+ac}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ac\right)}+\frac{ab+bc+ac}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ac\right)}\)

AD BĐT Cô - si và BĐT phụ đã cmt ở trên  ta có : \(P\ge2.\frac{1}{3}+\frac{8.3.\left(ab+bc+ac\right)}{9\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a = b = c 

16 tháng 5 2019

Khôi Bùi : theo e ý 2 có thể đơn giản hóa vấn đề bằng cách đặt ẩn phụ

đặt \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}=t\left(t\ge3\right)\)

\(\Rightarrow P=t+\frac{1}{t}=\frac{t}{9}+\frac{1}{t}+\frac{8}{9}t\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(P\ge2.\sqrt{\frac{t}{9}.\frac{1}{t}}+\frac{8}{9}t\ge\frac{2.1}{3}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b

NV
6 tháng 6 2020

\(VT=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{ab+bc+ca}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(VT\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)^2\left(ab+bc+ca\right)}{9\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)^2}}+\frac{24\left(ab+bc+ca\right)}{9\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{10}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

29 tháng 11 2016

1)Áp dụng Bđt Am-Gm \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)

2)Áp dụng Am-Gm \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab;b^2+c^2\ge2bc;a^2+c^2\ge2ca\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

=>ĐPcm

3)(a+b+c)2\(\ge\)3(ab+bc+ca)

=>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca\(\ge\)3ab+3bc+3ca

=>a2+b2+c2-ab-bc-ca\(\ge\)0

=>2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca\(\ge\)0

=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)\(\ge\)0

=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2\(\ge\)0

4)đề đúng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

7 tháng 1 2020

lol

10 tháng 1 2020

không hiểu kiểu gì

1 tháng 2 2019

Ta có:\(3\left(\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}\right)^2\le3\left[\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{a+b+c}\right]^2\)\(=3\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le a^2+b^2+c^2\)(1)

Mặt khác:\(\left(\frac{ab}{c}\right)^2+\left(\frac{bc}{a}\right)^2\ge2.\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}=2b^2\)(2)

Tương tự ta cũng có:\(\left(\frac{bc}{a}\right)^2+\left(\frac{ca}{b}\right)^2\ge2c^2\)(3);\(\left(\frac{ca}{b}\right)^2+\left(\frac{ab}{c}\right)^2\ge2a^2\)(4)

Cộng theo vế (1),(2),(3) ta được:\(2\left[\left(\frac{ab}{c}\right)^2+\left(\frac{bc}{a}\right)^2+\left(\frac{ca}{b}\right)^2\right]\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{ab}{c}\right)^2+\left(\frac{bc}{a}\right)^2+\left(\frac{ca}{b}\right)^2\ge a^2+b^2+c^2\)(5)

Từ (1) và (5) suy ra điều phải chứng minh.Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

1 tháng 2 2019

..Cộng theo vế (2),(3),(4) nhé :>

Giúp mình với! Mình đang cần gấp. Các bạn làm được bài nào thì giúp đỡ mình nhé! Cảm ơn!Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:\(\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+b^2\right)}}\le1\).Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh...
Đọc tiếp

Giúp mình với! Mình đang cần gấp. Các bạn làm được bài nào thì giúp đỡ mình nhé! Cảm ơn!

Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

\(\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+b^2\right)}}\le1\).

Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng:

\(\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}\ge0\).

Bài 3: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

\(\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{b}+\frac{\sqrt{a+b}}{c}\ge\frac{4\left(a+b+c\right)}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\).

Bài 4:Cho a,b,c>0, a+b+c=3. Chứng minh rằng: 

a)\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge1\).

b)\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{3}{2}\).

c)\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\).

Bài 5: Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:

\(\frac{2a^2+ab}{\left(b+c+\sqrt{ca}\right)^2}+\frac{2b^2+bc}{\left(c+a+\sqrt{ab}\right)^2}+\frac{2c^2+ca}{\left(a+b+\sqrt{bc}\right)^2}\ge1\).

8
21 tháng 10 2019

1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)

\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\)  (1) 

áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2\(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)

(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\)   <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\)  ( vậy (1) đúng)

dấu '=' khi a=b=c

21 tháng 10 2019

4b, \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}=1-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+1-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+1-\frac{ca^2}{a^2+c^2}\)

\(\ge3-\frac{ab^2}{2ab}-\frac{bc^2}{2bc}-\frac{ca^2}{2ac}=3-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{3}{2}\)

7 tháng 12 2017

Chứng minh BĐT Phụ: \(a^5+b^5\ge a^4b+ab^4\)với \(a;b>0\)

\(\Rightarrow\frac{a^5+b^5}{ab\left(a+b\right)}\ge\frac{a^4b+ab^4}{ab\left(a+b\right)}=\frac{ab\left(a^3+b^3\right)}{ab\left(a+b\right)}=\frac{ab\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{ab\left(a+b\right)}=a^2-ab+b^2\)

Áp dụng ta có: \(VT\)(VẾ TRÁI)\(\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)                       \(\left(1\right)\)

Xét: \(\left[2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\right]-\left[3\left(ab+bc+ca\right)-2\right]\)

\(=2\left(a^2+b^2+c^2\right)-4\left(ab+bc+ca\right)+2\)

\(=4\left(a^2+b^2+c^2\right)-4\left(ab+bc+ca\right)\)              (Do a2+b2+c2=1)                           \(\left(2\right)\)

Mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)   Tự chứng minh                                                               \(\left(3\right)\)

Từ (1);(2) và (3) suy ra \(VT\ge3\left(ab+bc+ca\right)-2\)

Vậy \(\frac{a^5+b^5}{ab\left(a+b\right)}+\frac{b^5+c^5}{bc\left(b+c\right)}+\frac{c^5+a^5}{ca\left(c+a\right)}\ge3\left(ab+bc+ca\right)-2\)

6 tháng 6 2020

Bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực a, b, c. Ai có thể chứng minh?

AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 8

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$a^3+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\geq 3\sqrt{a}$

$b^3+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\geq 3\sqrt{b}$

$c^3+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\geq 3\sqrt{c}$

Cộng theo vế các BĐT trên và thu gọn thì:
$a^3+b^3+c^3+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 3(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$

Giờ ta chỉ cần cm: $3(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 3(ab+bc+ac)$ thì bài toán hoàn thành.

Thật vậy:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\sqrt{a}+\sqrt{a}+a^2\geq 3a$

$\sqrt{b}+\sqrt{b}+b^2\geq 3b$

$\sqrt{c}+\sqrt{c}+c^2\geq 3c$
Cộng 3 BĐT trên lại theo vế và thu gọn:

$a^2+b^2+c^2+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 3(a+b+c)=(a+b+c)^2$

$\Rightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 2(ab+bc+ac)$
$\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ac$

$\Rightarrow 3(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 3(ab+bc+ac)$

(đpcm)

Bài toán hoàn thành.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$