Câu hỏi của Trần Nguyễn Ngọc Hưng

Question

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=1. Chứng minh rằng:$\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{18}$

Nguyễn Đăng Nhân · Accepted Answer

Ta đổi chiều bất đẳng thức, khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:$18\left(\frac{a^3}{1+a^3}+\frac{b^3}{1+b^3}+\frac{c^3}{1+c^3}\right)+\left(a+b+c\right)^3\ge54$Để ý abc=1 thì $\frac{a^3}{1+a^3}=\frac{a^3}{abc+a^3}=\frac{a^2}{bc+a^2}$nên bất đẳng thức trên thành:$18\left(\frac{a^2}{bc+a^2}+\frac{b^2}{ca+b^2}+\frac{c^2}{ab+c^2}\right)+\left(a+b+c\right)^3\ge54$Lại cũng từ $abc=1$ ta có $\left(a+b+c\right)^3\ge27abc=27$, do đó ta sẽ chứng minh được khi ta chỉ ra được:$\frac{a^2}{bc+a^2}+\frac{b^2}{ca+b^2}+\frac{c^2}{ab+c^2}\ge\frac{3}{2}$Vế trái của đánh giá trên áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Lúc này ta được:$\frac{a^2}{bc+a^2}+\frac{b^2}{ca+b^2}+\frac{c^2}{ab+c^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}$Tuy nhiên để đến khi $a=b=c=1$ thì:$\frac{18\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}=\left(a+b+c\right)^3=27$Ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng $x+y\ge2\sqrt{xy}$, khi đó ta được:$\frac{18\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}+\left(a+b+c\right)^3\ge\sqrt{\frac{18\left(a+b+c\right)^5}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}}$Chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ được:$\sqrt{\frac{18\left(a+b+c\right)^5}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}}\ge54\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^5\ge\frac{81}{2}\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)$Vậy theo bất đẳng thức Cauchy ta được:$\left(a+b+c\right)^6=\left[\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ca\right)+\left(ab+bc+ca\right)\right]^3$$\ge27\left(a+b+c\right)^2\left(ab+bc+ca\right)^2\ge81abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)$$=81\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)$Khi đó ta được:$\left(a+b+c\right)^5\ge81\left(a^2+b^2+c^2\right)$Vậy ta cần chỉ ra rằng:$2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$Vậy bất đẳng thức trên tương đương với $\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0$, là một bất đẳng thức hiển nhiên đúng.Vậy bất đẳng thức được chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$Câu trả lời: Ta đổi chiều bất đẳng thức, khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:$18\left(\frac{a^3}{1+a^3}+\frac{b^3}{1+b^3}+\frac{c^3}{1+c^3}\right)+\left(a+b+c\right)^3\ge54$Để ý abc=1 thì $\frac{a^3}{1+a^3}=\frac{a^3}{abc+a^3}=\frac{a^2}{bc+a^2}$nên bất đẳng thức trên thành:$18\left(\frac{a^2}{bc+a^2}+\frac{b^2}{ca+b^2}+\frac{c^2}{ab+c^2}\right)+\left(a+b+c\right)^3\ge54$Lại cũng từ $abc=1$ ta có $\left(a+b+c\right)^3\ge27abc=27$, do đó ta sẽ chứng minh được khi ta chỉ ra được:$\frac{a^2}{bc+a^2}+\frac{b^2}{ca+b^2}+\frac{c^2}{ab+c^2}\ge\frac{3}{2}$Vế trái của đánh giá trên áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Lúc này ta được:$\frac{a^2}{bc+a^2}+\frac{b^2}{ca+b^2}+\frac{c^2}{ab+c^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}$Tuy nhiên để đến khi $a=b=c=1$ thì:$\frac{18\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}=\left(a+b+c\right)^3=27$Ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng $x+y\ge2\sqrt{xy}$, khi đó ta được:$\frac{18\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}+\left(a+b+c\right)^3\ge\sqrt{\frac{18\left(a+b+c\right)^5}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}}$Chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ được:$\sqrt{\frac{18\left(a+b+c\right)^5}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}}\ge54\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^5\ge\frac{81}{2}\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)$Vậy theo bất đẳng thức Cauchy ta được:$\left(a+b+c\right)^6=\left[\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ca\right)+\left(ab+bc+ca\right)\right]^3$$\ge27\left(a+b+c\right)^2\left(ab+bc+ca\right)^2\ge81abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)$$=81\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)$Khi đó ta được:$\left(a+b+c\right)^5\ge81\left(a^2+b^2+c^2\right)$Vậy ta cần chỉ ra rằng:$2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$Vậy bất đẳng thức trên tương đương với $\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0$, là một bất đẳng thức hiển nhiên đúng.Vậy bất đẳng thức được chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP