Question

[Nguyễn Hữu Huy]

cho a,b,c > 0 thỏa mãn abc=1 .

Chứng minh : \(\frac{2}{\left(a+1\right)^2+b^2+1}+\frac{2}{\left(b+1\right)+c^2+1}+\frac{2}{\left(c+1\right)^2+a^2+1}\)

Answer 1

[vũ tiền châu]

sửa đề là chứng minh nó <=1 nha !

ta có \(\frac{2}{\left(a+1\right)^2+b^2+1}=\frac{2}{a^2+b^2+2a+2}\)

mà \(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow\frac{2}{a^2+b^2+2a+2}\le\frac{2}{2ab+2a+2}=\frac{1}{ab+a+1}\)

tương rự, ta có \(...\le\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\)

mà từ abc=1, ta có thể chứng minh \(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}=1\)

=>...<=1(ĐPCM)

dấu = xảy ra <=>a=b=c=1

^_^