Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab=16\Rightarrow a+b\ge4\Rightarrow a+b-4\ge0\)
\(P=\dfrac{1+b+1+a}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}=\dfrac{a+b+2}{ab+a+b+1}=\dfrac{a+b+2}{a+b+5}\)
\(P=\dfrac{3a+3b+6}{3\left(a+b+5\right)}=\dfrac{2\left(a+b+5\right)+\left(a+b-4\right)}{3\left(a+b+5\right)}\ge\dfrac{2\left(a+b+5\right)}{3\left(a+b+5\right)}=\dfrac{2}{3}\)
\(P_{min}=\dfrac{2}{3}\) khi \(a=b=2\)
\(M=2003\left(\dfrac{1}{a}+4a\right)+2016\left(\dfrac{1}{b}+b\right)-5012a-7518b\)
\(M=2003\left(\dfrac{1}{a}+4a\right)+2016\left(\dfrac{1}{b}+b\right)-2506\left(2a+3b\right)\)
\(M\ge2003.2\sqrt{\dfrac{4a}{a}}+2016.2\sqrt{\dfrac{b}{b}}-2506.4=2020\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{1}{2};1\right)\)
Cho 2 số thực dương a,b thỏa mãn \(a+b\le1\) . Tìm GTNN của
\(A=\dfrac{1}{1+a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$1\geq a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(A=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{6ab}+\frac{1}{3ab}\geq \frac{4}{1+a^2+b^2+6ab}+\frac{1}{3ab}\)
\(=\frac{4}{1+(a+b)^2+4ab}+\frac{1}{3ab}\geq \frac{4}{1+1+4.\frac{1}{4}}+\frac{1}{3.\frac{1}{4}}=\frac{8}{3}\)
Vậy $A_{\min}=\frac{8}{3}$ khi $a=b=\frac{1}{2}$
thật ra là có 1 bài rút gọn nx, nhưng mik làm đc rồi. bài rút gọn đó ra A=-1, đây là ý tiếp theo của bài đó :<
Ta có: \(A=\dfrac{a^2}{a+4}+\dfrac{b^2}{b+4}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b+8}\) (BĐT Cauchy-Schwarz)
\(=\dfrac{4^2}{4+8}=\dfrac{4}{3}\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{4}{3}\Rightarrow A_{min}=\dfrac{4}{3}\) khi \(\dfrac{a}{a+4}=\dfrac{b}{b+4}\)
\(\Rightarrow ab+4a=ab+4b\Rightarrow a=b=2\)
\(A=\dfrac{a^2}{a+4}+\dfrac{b^2}{b+4}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b+8}=\dfrac{4^2}{4+8}=\dfrac{4}{3}\)
\(A_{min}=\dfrac{4}{3}\) khi \(a=b=2\)